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% ..............................................................................
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% Demo of the fau-beamer template.
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%
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% Copyright 2022 by Tim Roith <tim.roith@fau.de>
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%
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% This program can be redistributed and/or modified under the terms
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% of the GNU Public License, version 2.
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% ------------------------------------------------------------------------------
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\documentclass[final]{beamer}
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% ========================================================================================
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% Theme: inner, outer, font and colors
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% ----------------------------------------------------------------------------------------
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\usepackage[institute=Tech,
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%SecondLogo = template-art/FAUWortmarkeBlau.pdf,
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%ThirdLogo = template-art/FAUWortmarkeBlau.pdf,
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%WordMark=None,
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aspectratio=169,
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fontsize=11,
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fontbaselineskip=13,
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scale=1.
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]{styles/beamerthemefau}
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% ----------------------------------------------------------------------------------------
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% Input and output encoding
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\usepackage[T1]{fontenc}
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\usepackage[utf8]{inputenc}
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% ----------------------------------------------------------------------------------------
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% Language settings
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\usepackage[german]{babel}
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% ========================================================================================
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% Fonts
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% - Helvet is loaded by styles/beamerfonts
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% - We use serif for math environements
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% - isomath is used for upGreek letters
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% ----------------------------------------------------------------------------------------
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\usepackage{isomath}
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\usefonttheme[onlymath]{serif}
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\usepackage{exscale}
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\usepackage{anyfontsize}
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\setbeamercolor{alerted text}{fg=BaseColor}
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% ----------------------------------------------------------------------------------------
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% custom commands for symbols
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\usepackage{styles/symbols}
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\usepackage{tikz-cd}
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\usetikzlibrary{cd, babel}
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% ========================================================================================
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% Setup for Titlepage
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% ----------------------------------------------------------------------------------------
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\title[fau-beamer]{Theorie der Programmierung}
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\subtitle{\texorpdfstring{Übung 05 - der (ungetypte) $\lambda$-Kalkül}{Übung 05 - der (ungetypte) Lambda-Kalkül}}
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\author[L. Vatthauer]{
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Leon Vatthauer}
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% Instead of \institute you can also use the \thanks command
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% ------------------------------------------------
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%\author[T. Roith]{
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%Tim Roith\thanks{Friedrich-Alexander Universität Erlangen-Nürnberg, Department Mathematik}\and%
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%Second Author\thanks{Second Insitute}\and%
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%Third Author\thanks{Third Insitute}%
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%}
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\date{\today}
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% ================================================
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% Bibliography
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% ------------------------------------------------
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\usepackage{csquotes}
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\usepackage[style=alphabetic, %alternatively: numeric, numeric-comp, and other from biblatex
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defernumbers=true,
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useprefix=true,%
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giveninits=true,%
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hyperref=true,%
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autocite=inline,%
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maxcitenames=5,%
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maxbibnames=20,%
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uniquename=init,%
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sortcites=true,% sort citations when multiple entries are passed to one cite command
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doi=true,%
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isbn=false,%
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url=false,%
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eprint=false,%
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backend=biber%
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]{biblatex}
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\addbibresource{bibliography.bib}
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\setbeamertemplate{bibliography item}[text]
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\babeltags{en=english}
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% ================================================
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% Hyperref and setup
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% ------------------------------------------------
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\usepackage{hyperref}
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\hypersetup{
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colorlinks = true,
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final=true,
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plainpages=false,
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pdfstartview=FitV,
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pdftoolbar=true,
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pdfmenubar=true,
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pdfencoding=auto,
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psdextra,
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bookmarksopen=true,
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bookmarksnumbered=true,
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breaklinks=true,
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linktocpage=true,
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urlcolor=BaseColor,
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citecolor=BaseColor,
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linkcolor=BaseColor,
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unicode = true
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}
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% ================================================
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% Additional packages
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% ------------------------------------------------
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% ================================================
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% Various custom commands
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% ------------------------------------------------
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%\setbeameroption{show notes on second screen}
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\begingroup\expandafter\expandafter\expandafter\endgroup
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\expandafter\ifx\csname pdfsuppresswarningpagegroup\endcsname\relax
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\else
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\pdfsuppresswarningpagegroup=1\relax
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\fi
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% Change color for cite locally
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\newcommand{\colorcite}[3]{{\hypersetup{citecolor=#1}{\cite[#2]{#3}}}}
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% ------------------------------------------------
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% ================================================
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% The main document
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% ------------------------------------------------
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\begin{document}
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% Title page
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\begin{frame}[t,titleimage]{-}
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\titlepage%
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\end{frame}
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\newcommand{\isaeq}{=_\alpha^?}
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\newcommand{\isbr}{\rightarrow_\beta^?}
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\newcommand{\betared}{\rightarrow_\beta}
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\newcommand{\alphaeq}{=_\alpha}
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\newcommand{\deltared}{\rightarrow_\delta}
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\newcommand{\etared}{\rightarrow_\eta}
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\newcommand{\betadeltared}{\rightarrow_{\beta\delta}^*}
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\newcommand{\ceil}[1]{\lceil {#1} \rceil}
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\newcommand{\definitionAlphaEq}{
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\begin{block}{$\alpha$-Äquivalenz}
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Zwei Terme $t_1, t_2$ heißen $\alpha$-Äquivalent, wenn sie durch Umbenennung gebundener Variablen auseinander hervorgehen. Formal:
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$$\lambda x.t \alphaeq \lambda y.t[y / x]\quad\text{wenn } y \not\in FV(t)$$
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\end{block}
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}
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\newcommand{\definitionBetaReduction}{
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\begin{block}{$\beta$-Reduktion}
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Die $\beta$-Reduktion modelliert das Ausrechnen einer Funktionsanwendung, z.B: $(\lambda x.3 + x)\; 5 \betared 3 + 5$
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Die Einschrittreduktion $\betared$ ist:
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$$C((\lambda x.t)\;s) \rightarrow_\beta C(t[s / x])$$
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\end{block}
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}
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\newcommand{\churchnumerals}{
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\begin{block}{Church-Numerale}
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\begin{equation*}\ceil{n} := \lambda f\;a.\underbrace{f(f(f(\ldots f}_n\; a)))\tag{1}\end{equation*}
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\noindent
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\begin{minipage}{0.45\textwidth}
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\begin{align*}
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&zero = \lambda f\;a.a\\
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&succ\;n = \lambda f\;a.f\;(n\;f\;a)
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\end{align*}
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|
\end{minipage}
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|
\begin{minipage}{0.45\textwidth}
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\begin{alignat*}{2}
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&one &&= succ\;zero\\
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&two &&= succ\;one\\
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&three &&= succ\;two\\
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&four &&= succ\;three
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\end{alignat*}
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\end{minipage}
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\end{block}
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}
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\AtBeginSection{}
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% Introduction
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\section{Der (ungetypte) Lambda-Kalkül}
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\subsection{Terme und Konventionen}
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\begin{frame}[t]{Der (ungetypte) $\lambda$-Kalkül}{Terme und Konventionen}
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\begin{block}{$\lambda$-Terme}
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$$t ::= x\;\vert\;t_1t_2\;\vert\;\lambda x.t \quad\quad (x \in V)$$
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\end{block}
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\pause
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\begin{block}{Konventionen}
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\begin{itemize}
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\item Applikation ist \textit{links-assoziativ}: \quad $x\;y\;z = (x\;y)\;z$
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\item Abstraktion reicht so weit wie möglich (Vgl. Quantoren in GLoIn)
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\item Aufeinanderfolgende Abstraktionen werden zusammengefasst: \quad $\lambda x. \lambda y. \lambda z. y\; x = \lambda x\;y\;z.y\;x$
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\end{itemize}
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\end{block}
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\end{frame}
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\subsection{Freie Variablen und Substitution}
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\begin{frame}[t]{Der (ungetypte) $\lambda$-Kalkül}{Freie Variablen und Substitution}
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\begin{block}{Freie Variablen}
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Sei $t$ ein $\lambda$-Term, $FV(t)$ ist dann definiert durch:
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\begin{alignat*}{2}
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&FV(x) &&= \{x\} \quad (\text{für } x \in V)\\
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&FV(t\;s) &&= FV(t) \cup FV(s)\\
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&FV(\lambda x.t) &&= FV(t) \setminus \{x\}
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\end{alignat*}
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\end{block}
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\pause
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\begin{block}{Substitution}
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Eine Substitution ist eine Abbildung $\sigma : V_0 \rightarrow T(V)$, wobei $V_0 \subseteq V$ (\textit{endliche} Teilmenge).
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Die Anwendung einer Substitution auf $\lambda$-Terme ist ebenfalls rekursiv definiert:
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\begin{alignat*}{2}
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&x\sigma &&= \sigma (x)\\
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&(t\;s)\sigma &&= (t\sigma)\;(s\sigma)\\
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&(\lambda x.t)\sigma &&= \lambda y.(t\sigma')
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\end{alignat*}
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\centering mit $y$ frisch, also $y \not\in FV(\sigma(z))$ für alle $z \in FV(\lambda x.t)$ und $\sigma' = \sigma [x \mapsto y]$
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\end{block}
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\end{frame}
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\subsection{Alpha-Äquivalenz und Beta-Reduktion}
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\begin{frame}[t]{Der (ungetypte) $\lambda$-Kalkül}{$\alpha$-Äquivalenz und $\beta$-Reduktion}
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\definitionAlphaEq
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\pause
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\definitionBetaReduction
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\end{frame}
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\section{Aufgabe 1 - Alpha-Äquivalenz und Beta-Reduktion}
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\begin{frame}[t]{Aufgabe 1.1}{$\alpha$-Äquivalenz und $\beta$-Reduktion}
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Entscheiden Sie für jedes der folgenden Paare von $\lambda$-Termen, ob die Terme jeweils $\alpha$-Äquivalent zueinander sind:
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\begin{itemize}
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\item[(a)] $\lambda x\;y.x\;y \isaeq \lambda u\;v.u\;v$
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\item[(b)] $\lambda x\;y.x\;y \isaeq \lambda u\;v.v\;u$
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\item[(c)] $(\lambda x.x\;x)(\lambda y.y\;y) \isaeq (\lambda x.x\;x)(\lambda x.x\;x)$
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\end{itemize}
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\vfill
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\definitionAlphaEq
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\end{frame}
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\begin{frame}[t]{Aufgabe 1.2}{$\alpha$-Äquivalenz und $\beta$-Reduktion}
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Entscheiden Sie in jedem der folgenden Fälle, ob der jeweilige Reduktionsschritt eine zulässige $\beta$-Reduktion darstellt:
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\begin{itemize}
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\item[(a)] $(\lambda x\;y\;z.x\;y\;z)(\lambda y.y\;y) \isbr \lambda y\;z.(\lambda y.y\;y)\;y\;z$
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\item[(b)] $(\lambda x\;y\;z.x\;y\;z)(y\;y) \isbr \lambda y\;z.(y\;y)\;y\;z$
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\item[(c)] $(\lambda x\;y\;z.x\;y\;z)(y\;y) \isbr \lambda y\;z.(u\;u)\;y\;z$
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\item[(d)] $(\lambda x\;y\;z.x\;y\;((\lambda u.u\;x) (y\;y)))\;u\;v \isbr (\lambda x\;y\;z.x\;y\;((y\;y)\;x))\;u\;v$
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\end{itemize}
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\vfill
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\definitionBetaReduction
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\end{frame}
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\section{Aufgabe 2 - \foreignlanguage{english}{We Are Not Anonymous (Functions)}}
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\begin{frame}[t]{Aufgabe 2}{\foreignlanguage{english}{We Are Not Anonymous (Functions)}}
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Funktionale Programmiersprachen wie zum Beispiel Haskell oder ML erweitern den $\lambda$-Kalkül um verschiedene Konstrukte.
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Insbesondere werden \textit{Definitionen} verwendet, um Funktionen zu benennen. Beispielsweise können wir die folgenden drei Gleichungen angeben:
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\begin{center}
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|
$flip = \lambda f\;x\;y.f\;y\;x$ \quad\quad $const = \lambda x\;y.x$ \quad\quad $twice = \lambda f\;x.f\;(f\;x)$
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|
|
\end{center}
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|
und sie als - von links nach rechts zu lesende - Reduktionsregeln betrachten, die bei der Auswertung eines $\lambda$-Terms angewendet werden können.
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|
Um sie von $\beta$-Reduktionen zu unterscheiden, werden solche Reduktionen als $\delta$-Reduktionen bezeichnet.
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|
Beispielsweise ist mit den obigen Definitionen die folgende Reduktion möglich:
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$$(\lambda f.f\;u)\; const \rightarrow_\beta const\;u \rightarrow_\delta (\lambda x\;y.x)\;u \rightarrow_\beta \lambda y.u$$
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\textbf{Hinweis:}\quad Eine derartige Reduktion, bei der sowohl $\beta$- als auch $\delta$-Schritte vorkommen können, bezeichnen wir ab sofort als $\beta\delta$-Reduktion.
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\end{frame}
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\begin{frame}[t]{Aufgabe 2.1}{\foreignlanguage{english}{We Are Not Anonymous (Functions)}}
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Ermitteln Sie die $\beta\delta$-Normalformen der folgenden Terme:
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\begin{itemize}
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\item[(a)] $flip\;const\;twice$
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\item[(b)] $twice\;flip$
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\end{itemize}
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\vfill
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\definitionBetaReduction
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\begin{block}{$\delta$-Reduktion}
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\begin{align*}
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&flip = \lambda f\;x\;y.f\;y\;x\\
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&const = \lambda x\;y.x\\
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&twice = \lambda f\;x.f\;(f\;x)
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\end{align*}
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Beispiel: $(\lambda f.f\;u)\; const \rightarrow_\beta const\;u \rightarrow_\delta (\lambda x\;y.x)\;u \rightarrow_\beta \lambda y.u$
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\end{block}
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|
\end{frame}
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\begin{frame}[t]{Aufgabe 2.2}{\foreignlanguage{english}{We Are Not Anonymous (Functions)}}
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Tatsächlich ist es in den angegebenen Programmiersprachen praktischerweise auch möglich,
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|
Funktionsargumente auf der linken Seite einer Funktionsdefinition anzugeben.
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Die obigen Definitionen würden dann beispielsweise wie folgt geschrieben werden:
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\begin{alignat*}{2}
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&flip\;f &&= \lambda x\;y. f\;y\;x\\
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&const\;x\;y &&= x\\
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&twice\;f\;x &&= f\;(f\;x)
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\end{alignat*}
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Die mit diesen Definitionen verbundenen Reduktionsregeln sind nun nicht mehr offensichtlich;
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deshalb verwenden wir Großbuchstaben $F, X, Y$, um Variablen, die in einem Term vorkommen,
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|
von Variablen, die durch eine Abstraktion gebunden werden können, zu unterscheiden.
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|
Außerdem verwenden wir zur Verdeutlichung explizite Klammerung:
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\begin{alignat*}{2}
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|
&flip\;F &&\rightarrow_\delta (\lambda x\;y.f\;y\;x)[F/x]\\
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&(const\;X)\;Y &&\rightarrow_\delta x[X/x, Y/y]\\
|
||
|
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&(twice\;F)\;X &&\rightarrow_\delta (f\;(f\;x))[X/x, F/f]
|
||
|
|
\end{alignat*}
|
||
|
|
\end{frame}
|
||
|
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|
||
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|
\begin{frame}[t]{Aufgabe 2.2}{\foreignlanguage{english}{We Are Not Anonymous (Functions)}}
|
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|
|
Entscheiden Sie, welche der folgenden $\lambda$-Terme bezüglich dieser neuen Definitionen $\beta\delta$-Normalformen sind:
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|
|
\begin{itemize}
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|
\item[(a)] $\lambda x.flip\;x$
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|
|
\item[(b)] $\lambda x.const\;x$
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|
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\item[(c)] $const\;flip\;twice$
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|
|
\end{itemize}
|
||
|
|
\vfill
|
||
|
|
\begin{block}{Neue $\delta$-Reduktion}
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|
\begin{alignat*}{2}
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&flip\;F &&\rightarrow_\delta (\lambda x\;y.f\;y\;x)[F/x]\\
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&(const\;X)\;Y &&\rightarrow_\delta x[X/x, Y/y]\\
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&(twice\;F)\;X &&\rightarrow_\delta (f\;(f\;x))[X/x, F/f]
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\end{alignat*}
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\end{block}
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\end{frame}
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\begin{frame}[t]{Aufgabe 3}{Church-Numerale}
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Funktionale Sprachen fügen weiterhin \textit{eingebaute} Typen (\foreignlanguage{english}{\textit{built-in types}}) zum $\lambda$-Kalkül hinzu und erlauben auch die Definition von benutzerdefinierten Typen (\textit{\texten{user-defined types}}).
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Diese Typen können jedoch prinzipiell allesamt unter Einsatz der sogenannten \textit{Church-Kodierung} direkt als $\lambda$-Terme kodiert werden.
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\\\;\\
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Eine natürliche Zahl $n$ wird durch einen $\lambda$-Term $\ceil{n}$ kodiert, der eine gegebene Funktion $f$ wiederholt $n$-mal auf einen Startwert $a$ anwendet, was wir informell als $n$ „Iterationen“ von $f$ startend bei $a$ ansehen können:
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\begin{equation*}\ceil{n} := \lambda f\;a.\underbrace{f(f(f(\ldots f}_n\; a)))\tag{1}\end{equation*}
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Wir kodieren dies einheitlich wie folgt:
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\noindent
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\begin{minipage}{0.45\textwidth}
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\begin{align*}
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&zero = \lambda f\;a.a\\
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&succ\;n = \lambda f\;a.f\;(n\;f\;a)
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\end{align*}
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\end{minipage}
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\begin{minipage}{0.45\textwidth}
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\begin{alignat*}{2}
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&one &&= succ\;zero\\
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&two &&= succ\;one\\
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&three &&= succ\;two\\
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&four &&= succ\;three
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\end{alignat*}
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\end{minipage}
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\end{frame}
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\section{Aufgabe 3 - Church-Numerale}
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\begin{frame}[t]{Aufgabe 3.1}{Church-Numerale}
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Zeigen Sie, dass für jede natürliche Zahl $n$ gilt: $succ\; \ceil{n} \betadeltared \ceil{n + 1}$
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\vfill
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\churchnumerals
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\end{frame}
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\begin{frame}[t]{Aufgabe 3.2}{Church-Numerale}
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Definieren Sie die Addition und Multiplikation natürlicher Zahlen bezüglich dieser Kodierung. Vervollständigen Sie also die folgenden Definitionen:
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$$add \;n \;m = \ldots \quad\quad\quad\quad\quad mult\; n\; m = \ldots$$
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derart, dass für alle $x$ und $y$ gilt:
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$$add\;\ceil{x}\;\ceil{y} \betadeltared \ceil{x + y}\quad\quad\quad\quad\quad mult\;\ceil{x}\;\ceil{y} \betadeltared \ceil{x \cdot y}$$
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\vfill
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\churchnumerals
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\end{frame}
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% input exmple sections
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%\input{sections/01_Intro_Landscape}
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\end{document}
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