ThProg-SS23/texfiles/slides08.tex

% ..............................................................................
% Demo of the fau-beamer template.
%
% Copyright 2022 by Tim Roith <tim.roith@fau.de>
%
% This program can be redistributed and/or modified under the terms
% of the GNU Public License, version 2.
%
% ------------------------------------------------------------------------------
\documentclass[final]{beamer}

% ========================================================================================
% Theme: inner, outer, font and colors
% ----------------------------------------------------------------------------------------
\usepackage[institute=Tech,
			%SecondLogo = template-art/FAUWortmarkeBlau.pdf,
			%ThirdLogo = template-art/FAUWortmarkeBlau.pdf,
			%WordMark=None,
			aspectratio=169,
			fontsize=11,
			fontbaselineskip=13,
			scale=1.
		   ]{styles/beamerthemefau}
% ----------------------------------------------------------------------------------------
% Input and output encoding
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
% ----------------------------------------------------------------------------------------
% Language settings
\usepackage[german]{babel}

% ========================================================================================
% Fonts
% - Helvet is loaded by styles/beamerfonts
% - We use serif for math environements
% - isomath is used for upGreek letters
% ----------------------------------------------------------------------------------------
\usepackage{isomath}
%\usefonttheme[onlymath]{serif}
\usepackage{exscale}
\usepackage{anyfontsize}
\setbeamercolor{alerted text}{fg=BaseColor}
% ----------------------------------------------------------------------------------------
% custom commands for symbols
\usepackage{styles/symbols}
\usepackage{tikz-cd}
\usetikzlibrary{cd, babel}

% ========================================================================================
% Setup for Titlepage
% ----------------------------------------------------------------------------------------
\title[fau-beamer]{Theorie der Programmierung}
\subtitle{\texorpdfstring{Übung 08 - Curry-Howard und induktive Datentypen}{Übung 08 - Curry-Howard und induktive Datentypen}}
\author[L. Vatthauer]{
Leon Vatthauer}
%

% Instead of \institute you can also use the \thanks command
% ------------------------------------------------
%\author[T. Roith]{
%Tim Roith\thanks{Friedrich-Alexander Universität Erlangen-Nürnberg, Department Mathematik}\and%
%Second Author\thanks{Second Insitute}\and%
%Third Author\thanks{Third Insitute}%
%}

\usepackage[useregional]{datetime2}

\date{\DTMdisplaydate{2023}{6}{19}{-1}}


% ================================================
% Bibliography
% ------------------------------------------------
\usepackage{csquotes}
\usepackage[style=alphabetic, %alternatively: numeric, numeric-comp, and other from biblatex
			defernumbers=true,
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			eprint=false,%
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		   ]{biblatex}
\addbibresource{bibliography.bib}
\setbeamertemplate{bibliography item}[text]
\babeltags{en=english}

% ================================================
% Hyperref and setup
% ------------------------------------------------
\usepackage{hyperref}
\hypersetup{
	colorlinks = true,
	final=true, 
	plainpages=false,
	pdfstartview=FitV,
	pdftoolbar=true,
	pdfmenubar=true,
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	psdextra,
	bookmarksopen=true,
	bookmarksnumbered=true,
	breaklinks=true,
	linktocpage=true,
	urlcolor=BaseColor,
	citecolor=BaseColor,
	linkcolor=BaseColor,
	unicode = true
}

% ================================================
% Additional packages
% ------------------------------------------------
\usepackage{listings}     
\usepackage{lstautogobble}  % Fix relative indenting
\usepackage{color}          % Code coloring
\usepackage{zi4}            % Nice font

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\lstset{
    %autogobble,
    columns=fullflexible,
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	mathescape=true,
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}
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% end of listings setup

% ================================================
% Various custom commands
% ------------------------------------------------
%\setbeameroption{show notes on second screen}
\begingroup\expandafter\expandafter\expandafter\endgroup
\expandafter\ifx\csname pdfsuppresswarningpagegroup\endcsname\relax
\else
  \pdfsuppresswarningpagegroup=1\relax
\fi
% Change color for cite locally
\newcommand{\colorcite}[3]{{\hypersetup{citecolor=#1}{\cite[#2]{#3}}}} 
% ------------------------------------------------
% ================================================
% The main document
% ------------------------------------------------
\begin{document}
% Title page
\begin{frame}[t, titleimage]{-}
\titlepage%
\end{frame}

\newcommand{\isaeq}{=_\alpha^?}
\newcommand{\isbr}{\rightarrow_\beta^?}

\newcommand{\betared}{\rightarrow_\beta}
\newcommand{\alphaeq}{=_\alpha}
\newcommand{\deltared}{\rightarrow_\delta}
\newcommand{\etared}{\rightarrow_\eta}
\newcommand{\betadeltared}{\rightarrow_{\beta\delta}^*}

\newcommand{\ceil}[1]{\lceil {#1} \rceil}

\newcommand{\typing}{
	\begin{block}{Typisierung}
		Wir lesen $\Gamma \vdash t : \alpha$ als „im Kontext $\Gamma$ hat der Term $t$ den Typ $\alpha$“ und definieren diese Relation wie folgt:
		\[
		\begin{array}{c c}
			\infer* [left=\text{(Ax)}, right=\text{($x : \alpha \in \Gamma$)}]{\;} {\Gamma \vdash x : \alpha} & \infer* [left=\text{($\rightarrow_i$)}] {\Gamma[x\mapsto \alpha] \vdash t : \beta} {\Gamma \vdash \lambda x.t : \alpha \rightarrow \beta}\\
			\\
			\multicolumn{2}{c}{
				\infer* [left=\text{($\rightarrow_e$)}] {\Gamma \vdash t : \alpha \rightarrow \beta \\ \Gamma \vdash s : \alpha} {\Gamma \vdash t\;s : \beta}
			}
		\end{array}
		\]
	\end{block}
}

\AtBeginSection{}

% Introduction
\section{Aufgabe 1 - Der Curry-Howard-Isomorphismus}
\begin{frame}[t, fragile]{Aufgabe 1}{Der Curry-Howard-Isomorphismus}
Wie bereits in der Hausaufgabe zum letzten Blatt angedeutet, gibt es eine Korrespondenz zwischen \textit{minimaler Logik} 
und Inhabitation im einfach getypten $\lambda$-Kalkül.
\\\;\\
Minimale Logik besitzt eine sehr eingeschränkte Syntax; allerdings haben wir in den letzten Wochen auch gelernt, dass sich
im ungetypten $\lambda$-Kalkül mittels Church-Kodierung auch Terme für z.B. Paare von Werten finden lassen:
Nehmen wir an, $\Gamma \vdash t : \tau$ sowie $\Gamma\vdash s : \sigma$. Per Definition aus Übung 5, Blatt 4, ist dann $pair\;t\;s = \lambda select. select\;t\;s$
Der Prinzipaltyp dieses Terms lässt sich einfach bestimmen: er lautet $(\tau \rightarrow \sigma \rightarrow \alpha)\rightarrow\alpha$. Sie werden jedoch feststellen, dass es keine
Möglichkeit gibt (warum?), einen allgemeinen Typkonstruktor für Paare zu simulieren. Wir werden später ein Typsystem kennenlernen, das es uns erlaubt, über Typvariablen zu
quantifizieren und damit das gewünschte zu erreichen.
\end{frame}


\begin{frame}[t, fragile]{Aufgabe 1.1}{Der Curry-Howard-Isomorphismus}
Für den Moment wollen wir uns jedoch damit zufriedengeben, den einfach getypten $\lambda$-Kalkül um einen solchen Typkonstruktor zu erweitern.
Die neue Grammatik für Typen lautet:
\[
\tau,\sigma ::= a \;\vert\; \mathbf{b} \;\vert\; \tau\rightarrow\sigma \;\vert\; \tau \times \sigma \qquad\qquad a \in \mathbf{V}, \mathbf{b} \in \mathbf{B}
\]

Natürlich müssen wir damit auch neue Konstrukte einführen, die zu diesen Typkonstruktoren gehören. Die Termsprache wird also erweitert auf die Grammatik
\[
t,s ::= x \;\vert\; ts \;\vert\; \lambda x.t \;\vert\; \{t, s\} \;\vert\; fst\;t \;\vert\; snd\;t    
\]
\;\\
Geben Sie die zusätzlich benötigten Typisierungsregeln an und erweitern Sie ebenso die Auswertungsrelation um Grundreduktion für Paare.

\end{frame}

\begin{frame}[t, fragile]{Aufgabe 1.1}{Recall: einfach getypter $\lambda$-Kalkül}
\typing
\end{frame}

\begin{frame}[t, fragile]{Aufgabe 1.2}{Der Curry-Howard-Isomorphismus}

Wir behaupten nun, dass diese Erweiterung uns auch mehr Ausdrucksstärke in der Logik auf der anderen Seite des Curry-Howard-Isomorphismus einbringt.
Genauer gesagt, dass wir das folgende Fragment der intuitionistischen propositionalen Logik erhalten:
\[
\phi, \psi ::= a \;\vert\; \phi \rightarrow \psi \;\vert\; \phi \land \psi
\]
wobei $a$ propositionale Variablen sind. Als Deduktionssystem verwenden wir den Sequentenkalkül minimaler Logik mit folgenden zusätzlichen Regeln:
\[
\begin{array}{c c c}
    \infer* [left=$\land_{E1}$] {\Gamma\vdash \phi \land \psi} {\Gamma\vdash \phi} & \infer* [left=$\land_{E2}$] {\Gamma\vdash \phi \land \psi} {\Gamma\vdash \psi} & \infer* [left=$\land_{I}$] {\Gamma\vdash \phi \\ \Gamma\vdash \psi} {\Gamma\vdash \phi \land \psi}
\end{array}    
\]
Sei $\overline{\phi}$ der Typ, der entsteht, wenn man in $\phi$ alle $\land$ durch $\times$ ersetzt. Beweisen Sie:
Der Sequent $\vdash \phi$ ist genau dann herleitbar, wenn der Typ $\overline{\phi}$ inhabited ist.
\end{frame}

\begin{frame}[t, fragile]{Aufgabe 1.2}{Überblick Sequenten- und $\lambda$-Kalkül}
\begin{minipage}{.44\textwidth}
\centering\textbf{Sequentenkalkül}
\\mit $\Gamma$ als Formelmenge $\{\phi_1, \ldots, \phi_n\}$
\[
\begin{array}{c c}
    \multicolumn{2}{c}{\infer* [left=(AX), right=$\phi \in \Gamma$]{\;} {\Gamma \vdash \phi}}
    \\\;\\
    \infer* [left=($\rightarrow_I$)] {\Gamma, \phi \vdash \psi} {\Gamma \vdash \phi \rightarrow \psi} & \infer* [left=($\land_I$)] {\Gamma \vdash \phi \\ \Gamma \vdash \psi} {\Gamma \vdash \phi \land \psi}
    \\\;\\
    \multicolumn{2}{c}{\infer* [left=($\rightarrow_E$)] {\Gamma \vdash \phi \rightarrow \psi \\ \Gamma \vdash \phi} {\Gamma \vdash \psi}}
    \\\;\\
    \infer* [left=($\land_{E1}$)] {\Gamma \vdash \phi \land \psi} {\Gamma \vdash \phi} & \infer* [left=($\land_{E2}$)] {\Gamma \vdash \phi \land \psi} {\Gamma \vdash \psi}
\end{array}    
\]
\end{minipage}
\begin{minipage}{.54\textwidth}
    \centering\textbf{Einfach getypter $\lambda$-Kalkül}
    \\mit $\Gamma$ als Kontext $\{x_1 : \alpha_1, \ldots, x_n : \alpha_n\}$
    \[
    \begin{array}{c c}
        \multicolumn{2}{c}{\infer* [left=(Ax), right=$x : \alpha \in \Gamma$]{\;} {\Gamma \vdash x : \alpha}}
        \\\;\\
        \infer* [left=($\rightarrow_i$)] {\Gamma[x \mapsto \alpha] \vdash t : \beta} {\Gamma \vdash \lambda x.t : \alpha \rightarrow \beta} & \infer* [left=($prod$)] {\Gamma \vdash t : \tau \\ \Gamma \vdash s : \sigma} {\Gamma \vdash \{t,s\} : \tau \times \sigma}
        \\\;\\
        \multicolumn{2}{c}{\infer* [left=($\rightarrow_e$)] {\Gamma \vdash t : \alpha \rightarrow \beta \\ \Gamma \vdash s : \alpha} {\Gamma \vdash ts : \beta}}
        \\\;\\
        \infer* [left=($proj_1$)] {\Gamma \vdash p : \tau \times \sigma} {\Gamma \vdash fst\;p : \tau} & \infer* [left=($proj_2$)] {\Gamma \vdash p : \tau \times \sigma} {\Gamma \vdash snd\;p : \sigma}
    \end{array}    
    \]
    \end{minipage}
\end{frame}


\begin{frame}[t, fragile]{Aufgabe 1.3}{Der Curry-Howard-Isomorphismus}
Benutzen Sie die eben hergestellte Korrespondenz, um zu zeigen, dass folgende Formel eine Tautologie ist:
\[
(p \land q) \rightarrow r \rightarrow ((r \land p) \land q)    
\]
\vfill
\begin{block}{Erweiterte Termgrammatik}
    \[
        t,s ::= x \;\vert\; ts \;\vert\; \lambda x.t \;\vert\; \{t, s\} \;\vert\; fst\;t \;\vert\; snd\;t    
    \]
\end{block}
\end{frame}

\section{Aufgabe 2 - Listen und Bäume}

\begin{frame}[t,fragile]{Aufgabe 2}{Listen und Bäume}
Wir betrachten die folgenden algebraischen Definitionen parametrischer Datentypen von Listen und Binärbäumen über einem Typparameter $a$:

\begin{minipage}{.41\textwidth}
    \begin{lstlisting}[language=haskell]
data List a where
    Nil  $\ $: () $\rightarrow$ List a
    Cons : a $\rightarrow$ List a $\rightarrow$ List a
    \end{lstlisting}
\end{minipage}
\begin{minipage}{.58\textwidth}
    \begin{lstlisting}[language=haskell, morekeywords=Tree]
data Tree a where
    Leaf  $\ \ $: a $\rightarrow$ Tree a
    Inner : a $\rightarrow$ Tree a $\rightarrow$ Tree a $\rightarrow$ Tree a
    \end{lstlisting}
\end{minipage}
\\\;\\\;\\
\begin{block}{Einige Annahmen}
Wir nehmen Typ \textbf{Nat} von Konstanten $0,1,2,\ldots$ und die üblichen Grundoperationen für \textbf{Nat} als gegeben an.
Weiter nehmen wir den Typ \textbf{Bool} mit den Konstanten $True$ und $False$ sowie den Grundoperationen dazu als gegeben an.
Mit \texttt{()} bezeichnen wir den Typ $unit$; er enthält nur einen einzigen Wert, den wir ebenfalls mit \texttt{()} bezeichnen.
\\\;\\
Weiterhin schreiben wir in Beweisen der Gleichheit zweier gegebener Terme $s$ und $t$ die Aussage $s \leftrightarrow_{\beta\delta}^* t$ abgekürzt als $s = t$.
\end{block}

\end{frame}

\begin{frame}[t,fragile]{Aufgabe 2.1}{Listen und Bäume}
    Wir betrachten die folgenden algebraischen Definitionen parametrischer Datentypen von Listen und Binärbäumen über einem Typparameter $a$:
    
    \begin{minipage}{.41\textwidth}
        \begin{lstlisting}[language=haskell]
    data List a where
        Nil  $\ $: () $\rightarrow$ List a
        Cons : a $\rightarrow$ List a $\rightarrow$ List a
        \end{lstlisting}
    \end{minipage}
    \begin{minipage}{.58\textwidth}
        \begin{lstlisting}[language=haskell, morekeywords=Tree]
    data Tree a where
        Leaf  $\ \ $: a $\rightarrow$ Tree a
        Inner : a $\rightarrow$ Tree a $\rightarrow$ Tree a $\rightarrow$ Tree a
        \end{lstlisting}
    \end{minipage}
    \vfill
    Beschreiben Sie in eigenen Worten die durch die folgenden Terme gegebenen Listen und Binärbäume mit natürlichen Zahlen bzw. zeichnen Sie diese.
    \begin{multicols}{2}
        \begin{itemize}
            \item Nil
            \item Cons 5 Nil
            \item Leaf 13
            \item Inner 5 (Leaf 3) (Leaf 9)
            \item Cons 5 (Cons 5 Nil)
            \item Cons 1 (Cons 2 (Cons 3 4 Nil))
            \item Inner 8 (Inner 4 (Leaf 1) (Leaf 20)) (Leaf 8)
            \item Inner 6 (Leaf 99) (Inner 1 (Leaf 4) (Leaf 6))
        \end{itemize}
    \end{multicols}
    \end{frame}

\begin{frame}[t,fragile]{Aufgabe 2.2}{Listen und Bäume}
    Wir betrachten die folgenden algebraischen Definitionen parametrischer Datentypen von Listen und Binärbäumen über einem Typparameter $a$:
    
    \begin{minipage}{.41\textwidth}
        \begin{lstlisting}[language=haskell]
    data List a where
        Nil  $\ $: () $\rightarrow$ List a
        Cons : a $\rightarrow$ List a $\rightarrow$ List a
        \end{lstlisting}
    \end{minipage}
    \begin{minipage}{.58\textwidth}
        \begin{lstlisting}[language=haskell, morekeywords=Tree]
    data Tree a where
        Leaf  $\ \ $: a $\rightarrow$ Tree a
        Inner : a $\rightarrow$ Tree a $\rightarrow$ Tree a $\rightarrow$ Tree a
        \end{lstlisting}
    \end{minipage}
    \;\\
    Es können nun Funktionen induktiv über der Struktur von $\mathbf{List}\;a$ und $\mathbf{Tree}\;a$ definiert werden, beispielsweise:

    \begin{minipage}{.41\textwidth}
        \begin{lstlisting}[]
length Nil $\ \ \ \ \ \ \ \ $= 0
length (Cons x xs) = 1 + length xs
        \end{lstlisting}
    \end{minipage}
    \begin{minipage}{.58\textwidth}
        \begin{lstlisting}[]
size (Leaf x) $\ \ \ \ \ $= 1
size (Inner x l r) = 1 + size l + size r
        \end{lstlisting}
    \end{minipage}
    \vfill
    \begin{enumerate}
        \item[(a)] Welchen Typ hat \texttt{length}? Welchen hat \texttt{size}?
        \item[(b)] Werten Sie den Term \texttt{length (Cons 4 (Cons 89 (Cons 21 Nil)))} aus. 
    \end{enumerate}
    \end{frame}

\begin{frame}[t,fragile]{Aufgabe 2.3}{Listen und Bäume}
    Wir betrachten die folgenden algebraischen Definitionen parametrischer Datentypen von Listen und Binärbäumen über einem Typparameter $a$:
    
    \begin{minipage}{.41\textwidth}
        \begin{lstlisting}[language=haskell]
    data List a where
        Nil  $\ $: () $\rightarrow$ List a
        Cons : a $\rightarrow$ List a $\rightarrow$ List a
        \end{lstlisting}
    \end{minipage}
    \begin{minipage}{.58\textwidth}
        \begin{lstlisting}[language=haskell, morekeywords=Tree]
    data Tree a where
        Leaf  $\ \ $: a $\rightarrow$ Tree a
        Inner : a $\rightarrow$ Tree a $\rightarrow$ Tree a $\rightarrow$ Tree a
        \end{lstlisting}
    \end{minipage}
    \;\\
    Es können nun Funktionen induktiv über der Struktur von $\mathbf{List}\;a$ und $\mathbf{Tree}\;a$ definiert werden, beispielsweise:

    \begin{minipage}{.41\textwidth}
        \begin{lstlisting}[]
length Nil $\ \ \ \ \ \ \ \ $= 0
length (Cons x xs) = 1 + length xs
        \end{lstlisting}
    \end{minipage}
    \begin{minipage}{.58\textwidth}
        \begin{lstlisting}[]
size (Leaf x) $\ \ \ \ \ $= 1
size (Inner x l r) = 1 + size l + size r
        \end{lstlisting}
    \end{minipage}
    \vfill
    Schreiben Sie eine Funktion $\mathtt{element} : \mathbf{Nat} \rightarrow \mathbf{List}\;\mathbf{Nat} \rightarrow \mathbf{Bool}$, so dass \texttt{element a xs = True} wenn \texttt{a} in \texttt{xs} vorkommt, und andernfalls \texttt{element a xs = False}.
\end{frame}

\begin{frame}[t, fragile]{Aufgabe 3.1}{Fold-Funktionen}
    Jeder induktive Datentyp besitzt eine Fold-Funktion, die sich aus der initialen Algebrastruktur des Typs ergibt.
    Der Typ und die Definitionen dieser Fold-Funktionen ergeben sich dabei allein aus den Typen der Konstruktoren. 
    Beispielsweise ist die Fold-Funktion für den Datentyp $\mathbf{Nat}\;a$ aus der vorangegangenen Übung wie folgt definiert:
    \begin{lstlisting}[language=haskell]
        foldL : c $\rightarrow$ (a $\rightarrow$ c $\rightarrow$ c) $\rightarrow$ List a $\rightarrow$ c
        foldL n f Nil = n
        foldL n f (Cons x xs) = f x (foldL n f xs)
    \end{lstlisting}
    Hierbei entspricht der Typparameter $c$ einem Ergebnistyp und die beiden Argumente $n$ und $f$ den Konstruktoren $Nil$ und $Cons$, wobei die Typen der Argumente jeweils Operationen
    auf dem Ergebnistyp $c$ beschreiben, mit dem eine Liste $\mathbf{List}\;a$ in einen einzelnen Wert vom Typ $c$ „zusammengefaltet“ werden kann.
    \vfill
    Werten Sie den Term \texttt{foldL n f (Cons 2 (Cons 3 (Cons 6 Nil)))} so weit es geht aus.
\end{frame}

\begin{frame}[t, fragile]{Aufgabe 3.2}{Fold-Funktionen}
    Jeder induktive Datentyp besitzt eine Fold-Funktion, die sich aus der initialen Algebrastruktur des Typs ergibt.
    Der Typ und die Definitionen dieser Fold-Funktionen ergeben sich dabei allein aus den Typen der Konstruktoren. 
    Beispielsweise ist die Fold-Funktion für den Datentyp $\mathbf{Nat}\;a$ aus der vorangegangenen Übung wie folgt definiert:
    \begin{lstlisting}[language=haskell]
        foldL : c $\rightarrow$ (a $\rightarrow$ c $\rightarrow$ c) $\rightarrow$ List a $\rightarrow$ c
        foldL n f Nil = n
        foldL n f (Cons x xs) = f x (foldL n f xs)
    \end{lstlisting}
    Hierbei entspricht der Typparameter $c$ einem Ergebnistyp und die beiden Argumente $n$ und $f$ den Konstruktoren $Nil$ und $Cons$, wobei die Typen der Argumente jeweils Operationen
    auf dem Ergebnistyp $c$ beschreiben, mit dem eine Liste $\mathbf{List}\;a$ in einen einzelnen Wert vom Typ $c$ „zusammengefaltet“ werden kann.
    \vfill
    Finden Sie den Typ und die Definition der entsprechenden Fold-Funktion \texttt{foldT} des parametrischen Datentyps $\mathbf{Tree}\;a$.
\end{frame}

\begin{frame}[t, fragile]{Aufgabe 3.3}{Fold-Funktionen}
    Jeder induktive Datentyp besitzt eine Fold-Funktion, die sich aus der initialen Algebrastruktur des Typs ergibt.
    Der Typ und die Definitionen dieser Fold-Funktionen ergeben sich dabei allein aus den Typen der Konstruktoren. 
    Beispielsweise ist die Fold-Funktion für den Datentyp $\mathbf{Nat}\;a$ aus der vorangegangenen Übung wie folgt definiert:
    \begin{lstlisting}[language=haskell]
        foldL : c $\rightarrow$ (a $\rightarrow$ c $\rightarrow$ c) $\rightarrow$ List a $\rightarrow$ c
        foldL n f Nil = n
        foldL n f (Cons x xs) = f x (foldL n f xs)
    \end{lstlisting}
    Hierbei entspricht der Typparameter $c$ einem Ergebnistyp und die beiden Argumente $n$ und $f$ den Konstruktoren $Nil$ und $Cons$, wobei die Typen der Argumente jeweils Operationen
    auf dem Ergebnistyp $c$ beschreiben, mit dem eine Liste $\mathbf{List}\;a$ in einen einzelnen Wert vom Typ $c$ „zusammengefaltet“ werden kann.
    \vfill
    Primitiv rekursive Funktionen auf $\mathbf{List}\;a$ können durch geeignete Instantiierung des Typparameters $c$ und der Argumente $n$ und $f$ alternativ
    mittels \texttt{foldL} ausgedrückt werden. Drücken Sie die Funktionen \texttt{length} und \texttt{size} jeweils als Folds über Listen und Bäumen aus.
\end{frame}
% input exmple sections
%\input{sections/01_Intro_Landscape}
\end{document}