Working on slides08

slides08.tex

@@ -0,0 +1,419 @@
+% ..............................................................................
+% Demo of the fau-beamer template.
+%
+% Copyright 2022 by Tim Roith <tim.roith@fau.de>
+%
+% This program can be redistributed and/or modified under the terms
+% of the GNU Public License, version 2.
+%
+% ------------------------------------------------------------------------------
+\documentclass[final]{beamer}
+
+% ========================================================================================
+% Theme: inner, outer, font and colors
+% ----------------------------------------------------------------------------------------
+\usepackage[institute=Tech,
+			%SecondLogo = template-art/FAUWortmarkeBlau.pdf,
+			%ThirdLogo = template-art/FAUWortmarkeBlau.pdf,
+			%WordMark=None,
+			aspectratio=169,
+			fontsize=11,
+			fontbaselineskip=13,
+			scale=1.
+		   ]{styles/beamerthemefau}
+% ----------------------------------------------------------------------------------------
+% Input and output encoding
+\usepackage[T1]{fontenc}
+\usepackage[utf8]{inputenc}
+% ----------------------------------------------------------------------------------------
+% Language settings
+\usepackage[german]{babel}
+
+% ========================================================================================
+% Fonts
+% - Helvet is loaded by styles/beamerfonts
+% - We use serif for math environements
+% - isomath is used for upGreek letters
+% ----------------------------------------------------------------------------------------
+\usepackage{isomath}
+%\usefonttheme[onlymath]{serif}
+\usepackage{exscale}
+\usepackage{anyfontsize}
+\setbeamercolor{alerted text}{fg=BaseColor}
+% ----------------------------------------------------------------------------------------
+% custom commands for symbols
+\usepackage{styles/symbols}
+\usepackage{tikz-cd}
+\usetikzlibrary{cd, babel}
+
+% ========================================================================================
+% Setup for Titlepage
+% ----------------------------------------------------------------------------------------
+\title[fau-beamer]{Theorie der Programmierung}
+\subtitle{\texorpdfstring{Übung 08 - Curry-Howard und induktive Datentypen}{Übung 08 - Curry-Howard und induktive Datentypen}}
+\author[L. Vatthauer]{
+Leon Vatthauer}
+%
+
+% Instead of \institute you can also use the \thanks command
+% ------------------------------------------------
+%\author[T. Roith]{
+%Tim Roith\thanks{Friedrich-Alexander Universität Erlangen-Nürnberg, Department Mathematik}\and%
+%Second Author\thanks{Second Insitute}\and%
+%Third Author\thanks{Third Insitute}%
+%}
+
+\usepackage[useregional]{datetime2}
+
+\date{\DTMdisplaydate{2023}{6}{19}{-1}}
+
+
+% ================================================
+% Bibliography
+% ------------------------------------------------
+\usepackage{csquotes}
+\usepackage[style=alphabetic, %alternatively: numeric, numeric-comp, and other from biblatex
+			defernumbers=true,
+			useprefix=true,%
+			giveninits=true,%
+			hyperref=true,%
+			autocite=inline,%
+			maxcitenames=5,%
+			maxbibnames=20,%
+			uniquename=init,%
+			sortcites=true,% sort citations when multiple entries are passed to one cite command
+			doi=true,%
+			isbn=false,%
+			url=false,%
+			eprint=false,%
+			backend=biber%
+		   ]{biblatex}
+\addbibresource{bibliography.bib}
+\setbeamertemplate{bibliography item}[text]
+\babeltags{en=english}
+
+% ================================================
+% Hyperref and setup
+% ------------------------------------------------
+\usepackage{hyperref}
+\hypersetup{
+	colorlinks = true,
+	final=true, 
+	plainpages=false,
+	pdfstartview=FitV,
+	pdftoolbar=true,
+	pdfmenubar=true,
+	pdfencoding=auto,
+	psdextra,
+	bookmarksopen=true,
+	bookmarksnumbered=true,
+	breaklinks=true,
+	linktocpage=true,
+	urlcolor=BaseColor,
+	citecolor=BaseColor,
+	linkcolor=BaseColor,
+	unicode = true
+}
+
+% ================================================
+% Additional packages
+% ------------------------------------------------
+\usepackage{listings}     
+\usepackage{lstautogobble}  % Fix relative indenting
+\usepackage{color}          % Code coloring
+\usepackage{zi4}            % Nice font
+
+\definecolor{bluekeywords}{rgb}{0.13, 0.13, 1}
+\definecolor{greencomments}{rgb}{0, 0.5, 0}
+\definecolor{redstrings}{rgb}{0.9, 0, 0}
+\definecolor{graynumbers}{rgb}{0.5, 0.5, 0.5}
+\lstset{
+    %autogobble,
+    columns=fullflexible,
+    showspaces=false,
+    showtabs=false,
+    breaklines=true,
+    showstringspaces=false,
+    breakatwhitespace=true,
+    escapeinside={(*@}{@*)},
+    commentstyle=\color{greencomments},
+    %keywordstyle=\color{bluekeywords},
+    stringstyle=\color{redstrings},
+    numberstyle=\color{graynumbers},
+    basicstyle=\ttfamily\normalsize,
+	mathescape=true,
+    %frame=l,
+    framesep=12pt,
+    %xleftmargin=.1\textwidth,%12pt,
+    tabsize=4,
+    captionpos=b
+}
+\usepackage{mathpartir}
+\usepackage{enumerate}
+\usepackage{multicol}
+%\usepackage[centercolon=true]{mathtools}
+% end of listings setup
+
+% ================================================
+% Various custom commands
+% ------------------------------------------------
+%\setbeameroption{show notes on second screen}
+\begingroup\expandafter\expandafter\expandafter\endgroup
+\expandafter\ifx\csname pdfsuppresswarningpagegroup\endcsname\relax
+\else
+  \pdfsuppresswarningpagegroup=1\relax
+\fi
+% Change color for cite locally
+\newcommand{\colorcite}[3]{{\hypersetup{citecolor=#1}{\cite[#2]{#3}}}} 
+% ------------------------------------------------
+% ================================================
+% The main document
+% ------------------------------------------------
+\begin{document}
+% Title page
+\begin{frame}[t, titleimage]{-}
+\titlepage%
+\end{frame}
+
+\newcommand{\isaeq}{=_\alpha^?}
+\newcommand{\isbr}{\rightarrow_\beta^?}
+
+\newcommand{\betared}{\rightarrow_\beta}
+\newcommand{\alphaeq}{=_\alpha}
+\newcommand{\deltared}{\rightarrow_\delta}
+\newcommand{\etared}{\rightarrow_\eta}
+\newcommand{\betadeltared}{\rightarrow_{\beta\delta}^*}
+
+\newcommand{\ceil}[1]{\lceil {#1} \rceil}
+
+\newcommand{\typing}{
+	\begin{block}{Typisierung}
+		Wir lesen $\Gamma \vdash t : \alpha$ als „im Kontext $\Gamma$ hat der Term $t$ den Typ $\alpha$“ und definieren diese Relation wie folgt:
+		\[
+		\begin{array}{c c}
+			\infer* [left=\text{(Ax)}, right=\text{($x : \alpha \in \Gamma$)}]{\;} {\Gamma \vdash x : \alpha} & \infer* [left=\text{($\rightarrow_i$)}] {\Gamma[x\mapsto \alpha] \vdash t : \beta} {\Gamma \vdash \lambda x.t : \alpha \rightarrow \beta}\\
+			\\
+			\multicolumn{2}{c}{
+				\infer* [left=\text{($\rightarrow_e$)}] {\Gamma \vdash t : \alpha \rightarrow \beta \\ \Gamma \vdash s : \alpha} {\Gamma \vdash t\;s : \beta}
+			}
+		\end{array}
+		\]
+	\end{block}
+}
+
+\AtBeginSection{}
+
+% Introduction
+\section{Aufgabe 1 - Der Curry-Howard-Isomorphismus}
+\begin{frame}[t, fragile]{Aufgabe 1}{Der Curry-Howard-Isomorphismus}
+Wie bereits in der Hausaufgabe zum letzten Blatt angedeutet, gibt es eine Korrespondenz zwischen \textit{minimaler Logik} 
+und Inhabitation im einfach getypten $\lambda$-Kalkül.
+\\\;\\
+Minimale Logik besitzt eine sehr eingeschränkte Syntax; allerdings haben wir in den letzten Wochen auch gelernt, dass sich
+im ungetypten $\lambda$-Kalkül mittels Church-Kodierung auch Terme für z.B. Paare von Werten finden lassen:
+Nehmen wir an, $\Gamma \vdash t : \tau$ sowie $\Gamma\vdash s : \sigma$. Per Definition aus Übung 5, Blatt 4, ist dann $pair\;t\;s = \lambda select. select\;t\;s$
+Der Prinzipaltyp dieses Terms lässt sich einfach bestimmen: er lautet $(\tau \rightarrow \sigma \rightarrow \alpha)\rightarrow\alpha$. Sie werden jedoch feststellen, dass es keine
+Möglichkeit gibt (warum?), einen allgemeinen Typkonstruktor für Paare zu simulieren. Wir werden später ein Typsystem kennenlernen, das es uns erlaubt, über Typvariablen zu
+quantifizieren und damit das gewünschte zu erreichen.
+\end{frame}
+
+
+\begin{frame}[t, fragile]{Aufgabe 1.1}{Der Curry-Howard-Isomorphismus}
+Für den Moment wollen wir uns jedoch damit zufriedengeben, den einfach getypten $\lambda$-Kalkül um einen solchen Typkonstruktor zu erweitern.
+Die neue Grammatik für Typen lautet:
+\[
+\tau,\sigma ::= a \;\vert\; \mathbf{b} \;\vert\; \tau\rightarrow\sigma \;\vert\; \tau \times \sigma \qquad\qquad a \in \mathbf{V}, \mathbf{b} \in \mathbf{B}
+\]
+
+Natürlich müssen wir damit auch neue Konstrukte einführen, die zu diesen Typkonstruktoren gehören. Die Termsprache wird also erweitert auf die Grammatik
+\[
+t,s ::= x \;\vert\; ts \;\vert\; \lambda x.t \;\vert\; {t, s} \;\vert\; fst\;t \;\vert\; snd\;t    
+\]
+\;\\
+Geben Sie die zusätzlich benötigten Typisierungsregeln an und erweitern Sie ebenso die Auswertungsrelation um Grundreduktion für Paare.
+
+\end{frame}
+
+\begin{frame}[t, fragile]{Aufgabe 1.1}{Recall: einfach getypter $\lambda$-Kalkül}
+\typing
+\end{frame}
+
+\begin{frame}[t, fragile]{Aufgabe 1.2}{Der Curry-Howard-Isomorphismus}
+
+Wir behaupten nun, dass diese Erweiterung uns auch mehr Ausdrucksstärke in der Logik auf der anderen Seite des Curry-Howard-Isomorphismus einbringt.
+Genauer gesagt, dass wir das folgende Fragment der intuitionistischen propositionalen Logik erhalten:
+\[
+\phi, \psi ::= a \;\vert\; \phi \rightarrow \psi \;\vert\; \phi \rightarrow \psi
+\]
+wobei $a$ propositionale Variablen sind. Als Deduktionssystem verwenden wir den Sequentenkalkül minimaler Logik mit folgenden zusätzlichen Regeln:
+\[
+\begin{array}{c c c}
+    \infer* [left=$\land_{E1}$] {\Gamma\vdash \phi \land \psi} {\Gamma\vdash \phi} & \infer* [left=$\land_{E2}$] {\Gamma\vdash \phi \land \psi} {\Gamma\vdash \psi} & \infer* [left=$\land_{I}$] {\Gamma\vdash \phi \\ \Gamma\vdash \psi} {\Gamma\vdash \phi \land \psi}
+\end{array}    
+\]
+Sei $\overline{\phi}$ der Typ, der entsteht, wenn man in $\phi$ alle $\land$ durch $\times$ ersetzt. Beweisen Sie:
+Der Sequent $\vdash \phi$ ist genau dann herleitbar, wenn der Typ $\overline{\phi}$ inhabited ist.
+\end{frame}
+\begin{frame}[t, fragile]{Aufgabe 1.2}{Der Curry-Howard-Isomorphismus}
+Benutzen Sie die eben hergestellte Korrespondenz, um zu zeigen, dass folgende Formel eine Tautologie ist:
+\[
+(p \land q) \rightarrow r \rightarrow ((r \land p) \land q)    
+\]
+\end{frame}
+
+\section{Aufgabe 2 - Listen und Bäume}
+
+\begin{frame}[t,fragile]{Aufgabe 2.1}{Listen und Bäume}
+Wir betrachten die folgenden algebraischen Definitionen parametrischer Datentypen von Listen und Binärbäumen über einem Typparameter $a$:
+
+\begin{minipage}{.41\textwidth}
+    \begin{lstlisting}[language=haskell]
+data List a where
+    Nil  $\ $: () $\rightarrow$ List a
+    Cons : a $\rightarrow$ List a $\rightarrow$ List a
+    \end{lstlisting}
+\end{minipage}
+\begin{minipage}{.58\textwidth}
+    \begin{lstlisting}[language=haskell, morekeywords=Tree]
+data Tree a where
+    Leaf  $\ \ $: () $\rightarrow$ Tree a
+    Inner : a $\rightarrow$ Tree a $\rightarrow$ Tree a $\rightarrow$ Tree a
+    \end{lstlisting}
+\end{minipage}
+\;\\
+Beschreiben Sie in eigenen Worten die durch die folgenden Terme gegebenen Listen und Binärbäume mit natürlichen Zahlen bzw. zeichnen Sie diese.
+\begin{multicols}{2}
+    \begin{itemize}
+        \item Nil
+        \item Cons 5 Nil
+        \item Leaf 13
+        \item Inner 5 (Leaf 3) (Leaf 9)
+        \item Cons 5 (Cons 5 Nil)
+        \item Cons 1 (Cons 2 (Cons 3 4 Nil))
+        \item Inner 8 (Inner 4 (Leaf 1) (Leaf 20)) (Leaf 8)
+        \item Inner 6 (Leaf 99) (Inner 1 (Leaf 4) (Leaf 6))
+    \end{itemize}
+\end{multicols}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}[t,fragile]{Aufgabe 2.2}{Listen und Bäume}
+    Wir betrachten die folgenden algebraischen Definitionen parametrischer Datentypen von Listen und Binärbäumen über einem Typparameter $a$:
+    
+    \begin{minipage}{.41\textwidth}
+        \begin{lstlisting}[language=haskell]
+    data List a where
+        Nil  $\ $: () $\rightarrow$ List a
+        Cons : a $\rightarrow$ List a $\rightarrow$ List a
+        \end{lstlisting}
+    \end{minipage}
+    \begin{minipage}{.58\textwidth}
+        \begin{lstlisting}[language=haskell, morekeywords=Tree]
+    data Tree a where
+        Leaf  $\ \ $: () $\rightarrow$ Tree a
+        Inner : a $\rightarrow$ Tree a $\rightarrow$ Tree a $\rightarrow$ Tree a
+        \end{lstlisting}
+    \end{minipage}
+    \;\\
+    Es können nun Funktionen induktiv über der Struktur von $\mathbf{List}\;a$ und $\mathbf{Tree}\;a$ definiert werden, beispielsweise:
+
+    \begin{minipage}{.41\textwidth}
+        \begin{lstlisting}[]
+length Nil $\ \ \ \ \ \ \ \ $= 0
+length (Cons x xs) = 1 + length xs
+        \end{lstlisting}
+    \end{minipage}
+    \begin{minipage}{.58\textwidth}
+        \begin{lstlisting}[]
+size (Leaf x) $\ \ \ \ \ $= 1
+size (Inner x l r) = 1 + size l + size r
+        \end{lstlisting}
+    \end{minipage}
+    \begin{enumerate}
+        \item[(a)] Welchen Typ hat \texttt{length}? Welchen hat \texttt{size}?
+        \item[(b)] Werten Sie den Term \texttt{length (Cons 4 (Cons 89 (Cons 21 Nil)))} aus. 
+    \end{enumerate}
+    \end{frame}
+
+\begin{frame}[t,fragile]{Aufgabe 2.3}{Listen und Bäume}
+    Wir betrachten die folgenden algebraischen Definitionen parametrischer Datentypen von Listen und Binärbäumen über einem Typparameter $a$:
+    
+    \begin{minipage}{.41\textwidth}
+        \begin{lstlisting}[language=haskell]
+    data List a where
+        Nil  $\ $: () $\rightarrow$ List a
+        Cons : a $\rightarrow$ List a $\rightarrow$ List a
+        \end{lstlisting}
+    \end{minipage}
+    \begin{minipage}{.58\textwidth}
+        \begin{lstlisting}[language=haskell, morekeywords=Tree]
+    data Tree a where
+        Leaf  $\ \ $: () $\rightarrow$ Tree a
+        Inner : a $\rightarrow$ Tree a $\rightarrow$ Tree a $\rightarrow$ Tree a
+        \end{lstlisting}
+    \end{minipage}
+    \;\\
+    Es können nun Funktionen induktiv über der Struktur von $\mathbf{List}\;a$ und $\mathbf{Tree}\;a$ definiert werden, beispielsweise:
+
+    \begin{minipage}{.41\textwidth}
+        \begin{lstlisting}[]
+length Nil $\ \ \ \ \ \ \ \ $= 0
+length (Cons x xs) = 1 + length xs
+        \end{lstlisting}
+    \end{minipage}
+    \begin{minipage}{.58\textwidth}
+        \begin{lstlisting}[]
+size (Leaf x) $\ \ \ \ \ $= 1
+size (Inner x l r) = 1 + size l + size r
+        \end{lstlisting}
+    \end{minipage}
+    Schreiben Sie eine Funktion $\mathtt{element} : \mathbf{Nat} \rightarrow \mathbf{List}\;\mathbf{Nat} \rightarrow \mathbf{Bool}$, so dass \texttt{element a xs = True} wenn \texttt{a} in \texttt{xs} vorkommt, und andernfalls \texttt{element a xs = False}.
+\end{frame}
+
+\begin{frame}[t, fragile]{Aufgabe 3.1}{Fold-Funktionen}
+    Jeder induktive Datentyp besitzt eine Fold-Funktion, die sich aus der initialen Algebrastruktur des Typs ergibt.
+    Der Typ und die Definitionen dieser Fold-Funktionen ergeben sich dabei allein aus den Typen der Konstruktoren. 
+    Beispielsweise ist die Fold-Funktion für den Datentyp $\mathbf{Nat}\;a$ aus der vorangegangenen Übung wie folgt definiert:
+    \begin{lstlisting}[language=haskell]
+        foldL : c $\rightarrow$ (a $\rightarrow$ c $\rightarrow$ c) $\rightarrow$ List a $\rightarrow$ C
+        foldL n f Nil = n
+        foldL n f (Cons x xs) = f x (foldL n f xs)
+    \end{lstlisting}
+    Hierbei entspricht der Typparameter $c$ einem Ergebnistyp und die beiden Argumente $n$ und $f$ den Konstruktoren $Nil$ und $Cons$, wobei die Typen der Argumente jeweils Operationen
+    auf dem Ergebnistyp $c$ beschreiben, mit dem eine Liste $\mathbf{List}\;a$ in einen einzelnen Wert vom Typ $c$ „zusammengefaltet“ werden kann.
+    \\\;\\
+    Werten Sie den Term \texttt{foldL n f (Cons 2 (Cons 3 (Cons 6 Nil)))} so weit es geht aus.
+\end{frame}
+
+\begin{frame}[t, fragile]{Aufgabe 3.2}{Fold-Funktionen}
+    Jeder induktive Datentyp besitzt eine Fold-Funktion, die sich aus der initialen Algebrastruktur des Typs ergibt.
+    Der Typ und die Definitionen dieser Fold-Funktionen ergeben sich dabei allein aus den Typen der Konstruktoren. 
+    Beispielsweise ist die Fold-Funktion für den Datentyp $\mathbf{Nat}\;a$ aus der vorangegangenen Übung wie folgt definiert:
+    \begin{lstlisting}[language=haskell]
+        foldL : c $\rightarrow$ (a $\rightarrow$ c $\rightarrow$ c) $\rightarrow$ List a $\rightarrow$ C
+        foldL n f Nil = n
+        foldL n f (Cons x xs) = f x (foldL n f xs)
+    \end{lstlisting}
+    Hierbei entspricht der Typparameter $c$ einem Ergebnistyp und die beiden Argumente $n$ und $f$ den Konstruktoren $Nil$ und $Cons$, wobei die Typen der Argumente jeweils Operationen
+    auf dem Ergebnistyp $c$ beschreiben, mit dem eine Liste $\mathbf{List}\;a$ in einen einzelnen Wert vom Typ $c$ „zusammengefaltet“ werden kann.
+    \\\;\\
+    Finden Sie den Typ und die Definition der entsprechenden Fold-Funktion \texttt{foldT} des parametrischen Datentyps $\mathbf{Tree}\;a$.
+\end{frame}
+
+\begin{frame}[t, fragile]{Aufgabe 3.3}{Fold-Funktionen}
+    Jeder induktive Datentyp besitzt eine Fold-Funktion, die sich aus der initialen Algebrastruktur des Typs ergibt.
+    Der Typ und die Definitionen dieser Fold-Funktionen ergeben sich dabei allein aus den Typen der Konstruktoren. 
+    Beispielsweise ist die Fold-Funktion für den Datentyp $\mathbf{Nat}\;a$ aus der vorangegangenen Übung wie folgt definiert:
+    \begin{lstlisting}[language=haskell]
+        foldL : c $\rightarrow$ (a $\rightarrow$ c $\rightarrow$ c) $\rightarrow$ List a $\rightarrow$ C
+        foldL n f Nil = n
+        foldL n f (Cons x xs) = f x (foldL n f xs)
+    \end{lstlisting}
+    Hierbei entspricht der Typparameter $c$ einem Ergebnistyp und die beiden Argumente $n$ und $f$ den Konstruktoren $Nil$ und $Cons$, wobei die Typen der Argumente jeweils Operationen
+    auf dem Ergebnistyp $c$ beschreiben, mit dem eine Liste $\mathbf{List}\;a$ in einen einzelnen Wert vom Typ $c$ „zusammengefaltet“ werden kann.
+    \\\;\\
+    Primitiv rekursive Funktionen auf $\mathbf{List}\;a$ können durch geeignete Instantiierung des Typparameters $c$ und der Argumente $n$ und $f$ alternativ
+    mittels \texttt{foldL} ausgedrückt werden. Drücken Sie die Funktionen \texttt{length} und \texttt{size} jeweils als Folds über Listen und Bäumen aus.
+\end{frame}
+% input exmple sections
+%\input{sections/01_Intro_Landscape}
+\end{document}

texfiles/slides06.tex

@@ -66,8 +66,9 @@ Leon Vatthauer}
 %Second Author\thanks{Second Insitute}\and%
 %Third Author\thanks{Third Insitute}%
 %}
+\usepackage[useregional]{datetime2}
 
-\date{\today}
+\date{\DTMdisplaydate{2023}{6}{5}{-1}}
 
 
 % ================================================
@@ -339,7 +340,7 @@ Leon Vatthauer}
 	Schreiben Sie eine rekursive Funktion $odd$, sodass:
 	\[
 		odd\,\ceil{n} = \begin{cases}
-			true & \text{falls } n \text{ gerade}\\
+			true & \text{falls } n \text{ ungerade}\\
 			false & \text{sonst}
 		\end{cases}
 	\]
@@ -406,7 +407,7 @@ Diese unterscheiden sich hauptsächlich in den Zeitpunkten, zu denen $\beta$-Red
 
 	Wir schreiben wie aus der Vorlesung bekannt $I = (\lambda x.\,x)$ und $\Omega = (\lambda x.\,x\,x)$. 
 
-	Reduzieren Sie den Term $\lambda f.\,f\,I\,(\Omega\,\Omega)(\lambda x\,y.\,x\,x)$ mittels
+	Reduzieren Sie den Term $(\lambda f.\,f\,I\,(\Omega\,\Omega))(\lambda x\,y.\,x\,x)$ mittels
 	\begin{enumerate}
 		\item[(a)] applikativer Reduktion,
 		\item[(b)] normaler Reduktion.

texfiles/slides07.tex

@@ -50,7 +50,7 @@
 % Setup for Titlepage
 % ----------------------------------------------------------------------------------------
 \title[fau-beamer]{Theorie der Programmierung}
-\subtitle{\texorpdfstring{Übung 07 - Der einfach getypte $\lambda$-Kalkül}{Übung 05 - Der einfach getypte Lambda-Kalkül}}
+\subtitle{\texorpdfstring{Übung 07 - Der einfach getypte $\lambda$-Kalkül}{Übung 07 - Der einfach getypte Lambda-Kalkül}}
 \author[L. Vatthauer]{
 Leon Vatthauer}
 %
@@ -63,7 +63,9 @@ Leon Vatthauer}
 %Third Author\thanks{Third Insitute}%
 %}
 
-\date{\today}
+\usepackage[useregional]{datetime2}
+
+\date{\DTMdisplaydate{2023}{6}{12}{-1}}
 
 
 % ================================================

texfiles/ueb07.hs

@@ -0,0 +1,6 @@
+
+add :: Int -> Int -> Int
+add n m = n + m
+
+len :: String -> Int
+len str = Prelude.length str