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% ..............................................................................
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% Demo of the fau-beamer template.
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%
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% Copyright 2022 by Tim Roith <tim.roith@fau.de>
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%
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% This program can be redistributed and/or modified under the terms
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% of the GNU Public License, version 2.
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%
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% ------------------------------------------------------------------------------
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\documentclass[final]{beamer}
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% ========================================================================================
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% Theme: inner, outer, font and colors
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% ----------------------------------------------------------------------------------------
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\usepackage[institute=Tech,
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%SecondLogo = template-art/FAUWortmarkeBlau.pdf,
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%ThirdLogo = template-art/FAUWortmarkeBlau.pdf,
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%WordMark=None,
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aspectratio=169,
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fontsize=11,
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fontbaselineskip=13,
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scale=1.
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]{styles/beamerthemefau}
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% ----------------------------------------------------------------------------------------
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||||
% Input and output encoding
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\usepackage[T1]{fontenc}
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\usepackage[utf8]{inputenc}
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% ----------------------------------------------------------------------------------------
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% Language settings
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\usepackage[german]{babel}
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% ========================================================================================
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% Fonts
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% - Helvet is loaded by styles/beamerfonts
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% - We use serif for math environements
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% - isomath is used for upGreek letters
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% ----------------------------------------------------------------------------------------
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\usepackage{isomath}
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%\usefonttheme[onlymath]{serif}
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\usepackage{exscale}
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||||
\usepackage{anyfontsize}
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||||
\setbeamercolor{alerted text}{fg=BaseColor}
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% ----------------------------------------------------------------------------------------
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||||
% custom commands for symbols
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||||
\usepackage{styles/symbols}
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||||
\usepackage{tikz-cd}
|
||||
\usetikzlibrary{cd, babel}
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% ========================================================================================
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||||
% Setup for Titlepage
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% ----------------------------------------------------------------------------------------
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||||
\title[fau-beamer]{Theorie der Programmierung}
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||||
\subtitle{\texorpdfstring{Übung 09 - Strukturelle Induktion}{Übung 09 - Strukturelle Induktion}}
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||||
\author[L. Vatthauer]{
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||||
Leon Vatthauer}
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%
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||||
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||||
% Instead of \institute you can also use the \thanks command
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% ------------------------------------------------
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%\author[T. Roith]{
|
||||
%Tim Roith\thanks{Friedrich-Alexander Universität Erlangen-Nürnberg, Department Mathematik}\and%
|
||||
%Second Author\thanks{Second Insitute}\and%
|
||||
%Third Author\thanks{Third Insitute}%
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||||
%}
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||||
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||||
\usepackage[useregional]{datetime2}
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||||
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||||
\date{\DTMdisplaydate{2023}{6}{26}{-1}}
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% ================================================
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||||
% Bibliography
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% ------------------------------------------------
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||||
\usepackage{csquotes}
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||||
\usepackage[style=alphabetic, %alternatively: numeric, numeric-comp, and other from biblatex
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||||
defernumbers=true,
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||||
useprefix=true,%
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||||
giveninits=true,%
|
||||
hyperref=true,%
|
||||
autocite=inline,%
|
||||
maxcitenames=5,%
|
||||
maxbibnames=20,%
|
||||
uniquename=init,%
|
||||
sortcites=true,% sort citations when multiple entries are passed to one cite command
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doi=true,%
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||||
isbn=false,%
|
||||
url=false,%
|
||||
eprint=false,%
|
||||
backend=biber%
|
||||
]{biblatex}
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||||
\addbibresource{bibliography.bib}
|
||||
\setbeamertemplate{bibliography item}[text]
|
||||
\babeltags{en=english}
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||||
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||||
% ================================================
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||||
% Hyperref and setup
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% ------------------------------------------------
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||||
\usepackage{hyperref}
|
||||
\hypersetup{
|
||||
colorlinks = true,
|
||||
final=true,
|
||||
plainpages=false,
|
||||
pdfstartview=FitV,
|
||||
pdftoolbar=true,
|
||||
pdfmenubar=true,
|
||||
pdfencoding=auto,
|
||||
psdextra,
|
||||
bookmarksopen=true,
|
||||
bookmarksnumbered=true,
|
||||
breaklinks=true,
|
||||
linktocpage=true,
|
||||
urlcolor=BaseColor,
|
||||
citecolor=BaseColor,
|
||||
linkcolor=BaseColor,
|
||||
unicode = true
|
||||
}
|
||||
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||||
% ================================================
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||||
% Additional packages
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% ------------------------------------------------
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||||
\usepackage{listings}
|
||||
\usepackage{lstautogobble} % Fix relative indenting
|
||||
\usepackage{color} % Code coloring
|
||||
\usepackage{zi4} % Nice font
|
||||
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||||
\definecolor{bluekeywords}{rgb}{0.13, 0.13, 1}
|
||||
\definecolor{greencomments}{rgb}{0, 0.5, 0}
|
||||
\definecolor{redstrings}{rgb}{0.9, 0, 0}
|
||||
\definecolor{graynumbers}{rgb}{0.5, 0.5, 0.5}
|
||||
\lstset{
|
||||
%autogobble,
|
||||
columns=fullflexible,
|
||||
showspaces=false,
|
||||
showtabs=false,
|
||||
breaklines=true,
|
||||
showstringspaces=false,
|
||||
breakatwhitespace=true,
|
||||
escapeinside={(*@}{@*)},
|
||||
commentstyle=\color{greencomments},
|
||||
%keywordstyle=\color{bluekeywords},
|
||||
stringstyle=\color{redstrings},
|
||||
numberstyle=\color{graynumbers},
|
||||
basicstyle=\ttfamily\normalsize,
|
||||
mathescape=true,
|
||||
%frame=l,
|
||||
%framesep=12pt,
|
||||
%xleftmargin=.1\textwidth,%12pt,
|
||||
tabsize=4,
|
||||
captionpos=b
|
||||
}
|
||||
\usepackage{mathpartir}
|
||||
\usepackage{enumerate}
|
||||
\usepackage{multicol}
|
||||
%\usepackage[centercolon=true]{mathtools}
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||||
% end of listings setup
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||||
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||||
% ================================================
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||||
% Various custom commands
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||||
% ------------------------------------------------
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||||
%\setbeameroption{show notes on second screen}
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||||
\begingroup\expandafter\expandafter\expandafter\endgroup
|
||||
\expandafter\ifx\csname pdfsuppresswarningpagegroup\endcsname\relax
|
||||
\else
|
||||
\pdfsuppresswarningpagegroup=1\relax
|
||||
\fi
|
||||
% Change color for cite locally
|
||||
\newcommand{\colorcite}[3]{{\hypersetup{citecolor=#1}{\cite[#2]{#3}}}}
|
||||
% ------------------------------------------------
|
||||
% ================================================
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||||
% The main document
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||||
% ------------------------------------------------
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||||
\begin{document}
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||||
% Title page
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||||
\begin{frame}[t, titleimage]{-}
|
||||
\titlepage%
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||||
\end{frame}
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||||
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||||
\newcommand{\isaeq}{=_\alpha^?}
|
||||
\newcommand{\isbr}{\rightarrow_\beta^?}
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||||
|
||||
\newcommand{\betared}{\rightarrow_\beta}
|
||||
\newcommand{\alphaeq}{=_\alpha}
|
||||
\newcommand{\deltared}{\rightarrow_\delta}
|
||||
\newcommand{\etared}{\rightarrow_\eta}
|
||||
\newcommand{\betadeltared}{\rightarrow_{\beta\delta}^*}
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||||
|
||||
\newcommand{\ceil}[1]{\lceil {#1} \rceil}
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||||
|
||||
\newcommand{\typing}{
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||||
\begin{block}{Typisierung}
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||||
Wir lesen $\Gamma \vdash t : \alpha$ als „im Kontext $\Gamma$ hat der Term $t$ den Typ $\alpha$“ und definieren diese Relation wie folgt:
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||||
\[
|
||||
\begin{array}{c c}
|
||||
\infer* [left=\text{(Ax)}, right=\text{($x : \alpha \in \Gamma$)}]{\;} {\Gamma \vdash x : \alpha} & \infer* [left=\text{($\rightarrow_i$)}] {\Gamma[x\mapsto \alpha] \vdash t : \beta} {\Gamma \vdash \lambda x.t : \alpha \rightarrow \beta}\\
|
||||
\\
|
||||
\multicolumn{2}{c}{
|
||||
\infer* [left=\text{($\rightarrow_e$)}] {\Gamma \vdash t : \alpha \rightarrow \beta \\ \Gamma \vdash s : \alpha} {\Gamma \vdash t\;s : \beta}
|
||||
}
|
||||
\end{array}
|
||||
\]
|
||||
\end{block}
|
||||
}
|
||||
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||||
\AtBeginSection{}
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||||
% Introduction
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\section{Aufgabe 1 - Beweise mittels struktureller Induktion}
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\begin{frame}[t, fragile]{Aufgabe 1}{Beweise mittels struktureller Induktion}
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||||
Wir betrachten die folgenden Funktionen auf Listen:
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||||
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||||
\begin{minipage}{.45\textwidth}
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||||
\begin{lstlisting}[keywords={List, Nat}]
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||||
length : List a $\rightarrow$ Nat
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||||
length Nil = 0
|
||||
length (Cons x xs) = 1 + length xs
|
||||
\end{lstlisting}
|
||||
\end{minipage}
|
||||
\begin{minipage}{.5\textwidth}
|
||||
\begin{lstlisting}[keywords={List, Nat}]
|
||||
reverse : List a $\rightarrow$ List a
|
||||
reverse Nil = Nil
|
||||
reverse (Cons x xs) = snoc (reverse xs) x
|
||||
\end{lstlisting}
|
||||
\end{minipage}
|
||||
\begin{minipage}{.5\textwidth}
|
||||
\begin{lstlisting}[keywords={List, Nat}]
|
||||
snoc : List a $\rightarrow$ List a
|
||||
snoc Nil y = Cons y Nil
|
||||
snoc (Cons x xs) y = Cons x (snoc xs y)
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||||
\end{lstlisting}
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||||
\end{minipage}
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||||
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||||
Wir zeigen einige Eigenschaften dieser Funktionen. Beweisen Sie diese jeweils durch Induktion über der Struktur der Argumentliste.
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||||
Rechtfertigen Sie hierbei Ihre Schritte und geben Sie jeweils ihre Induktionshypothese an.
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||||
\textit{Hinweis:} Wir erinnern daran, dass $s = t$ als $s \leftrightarrow_{\beta\delta} t$ zu lesen ist.
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||||
Außerdem können Sie jederzeit zuvor bewiesene Eigenschaften verwenden.
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||||
\end{frame}
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||||
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||||
\begin{frame}[t, fragile]{Aufgabe 1}{Beweise mittels struktureller Induktion}
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||||
Wir betrachten die folgenden Funktionen auf Listen:
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||||
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||||
\begin{minipage}{.45\textwidth}
|
||||
\begin{lstlisting}[keywords={List, Nat}]
|
||||
length : List a $\rightarrow$ Nat
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||||
length Nil = 0
|
||||
length (Cons x xs) = 1 + length xs
|
||||
\end{lstlisting}
|
||||
\end{minipage}
|
||||
\begin{minipage}{.5\textwidth}
|
||||
\begin{lstlisting}[keywords={List, Nat}]
|
||||
reverse : List a $\rightarrow$ List a
|
||||
reverse Nil = Nil
|
||||
reverse (Cons x xs) = snoc (reverse xs) x
|
||||
\end{lstlisting}
|
||||
\end{minipage}
|
||||
\begin{minipage}{.5\textwidth}
|
||||
\begin{lstlisting}[keywords={List, Nat}]
|
||||
snoc : List a $\rightarrow$ List a
|
||||
snoc Nil y = Cons y Nil
|
||||
snoc (Cons x xs) y = Cons x (snoc xs y)
|
||||
\end{lstlisting}
|
||||
\end{minipage}
|
||||
\vfill
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||||
Beweisen Sie mittels Induktion:
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\begin{enumerate}
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||||
\item \texttt{$\forall$x xs. length (snoc xs x) = 1 + length xs}
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\pause
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||||
\item \texttt{$\forall$xs. length (reverse xs) = length xs}
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||||
\end{enumerate}
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||||
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||||
\end{frame}
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||||
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||||
\section{Aufgabe 2 - Eine binäre Funktion: Listenkonkatenation}
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\begin{frame}[t, fragile]{Aufgabe 2}{Eine binäre Funktion: Listenkonkatenation}
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||||
Wir betrachten die folgende Definition einer Funktion zur Listenkonkatenation:
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\begin{lstlisting}[keywords={List, Nat}]
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||||
($\oplus$) : List a $\rightarrow$ List a $\rightarrow$ List a
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Nil $\oplus$ ys = ys
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||||
(Cons x xs) $\oplus$ ys = Cons x (xs $\oplus$ ys)
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||||
\end{lstlisting}
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||||
Wir möchten die folgende Eigenschaft mittels struktureller Induktion beweisen:
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$$\forall \texttt{xs ys. length (xs $\oplus$ ys) = length xs + length ys}$$
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\begin{enumerate}
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||||
\item Über welche Liste(n) sollten wir induzieren, über das erste Argument von (\_ $\oplus$ \_), über das zweite, oder über beide? Warum?
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\pause
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||||
\item Beweisen Sie die oben angegebene Eigenschaft; begründen Sie Ihre Schritte und geben Sie explizit an, an welcher Stelle die Induktionshypothese verwendet wird.
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||||
\end{enumerate}
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||||
\end{frame}
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||||
\section{Aufgabe 3 - Induktion über Bäume}
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\begin{frame}[t, fragile]{Aufgabe 3.1}{Induktion über Bäume}
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Wir erinnern uns an den induktiven Datentyp der binären Bäume von Blatt 8 und die Funktion \texttt{size}, die die Knoten eines Baums zählt:
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\begin{minipage}{.5\textwidth}
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||||
\begin{lstlisting}[keywords={List, Nat, Tree, data, where}]
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||||
data Tree a where
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Leaf : a $\rightarrow$ Tree a
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Inner : a $\rightarrow$ Tree a $\rightarrow$ Tree a $\rightarrow$ Tree a
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\end{lstlisting}
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||||
\end{minipage}
|
||||
\begin{minipage}{.49\textwidth}
|
||||
\begin{lstlisting}[keywords={List, Nat, Tree}]
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||||
size : Tree a $\rightarrow$ Nat
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size (Leaf x) = 1
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size (Inner x l r) = 1 + size l + size r
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\end{lstlisting}
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||||
\end{minipage}
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\vfill
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||||
Definieren Sie induktiv eine Funktion \lstinline[keywords={List, Tree}]{inorder : Tree a $\rightarrow$ List a}, die die Elemente eines Baumes
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gemäß ener In-Order-Traversierung von links nach rechts ausgibt. Zeigen Sie dann per struktureller Induktion über Bäume, dass
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||||
$$\forall\texttt{t. length (inorder t) = size t}$$
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||||
\end{frame}
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||||
\begin{frame}[t, fragile]{Aufgabe 3.2}{Induktion über Bäume}
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||||
Wir betrachten im folgenden einen parametrischen induktiven Datentyp für Bäume, deren Blätter Elemente vom Typ $a$ enthalten, und deren innere Knoten jeweils
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||||
bis zu drei Kinder haben, selbst aber keine Werte enthalten:
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||||
\begin{lstlisting}[keywords={VarTree}]
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||||
data VarTree a where
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||||
VLeaf : a $\rightarrow$ VarTree a
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Node1 : VarTree a $\rightarrow$ VarTree a
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||||
Node2 : VarTree $\rightarrow$ VarTree a $\rightarrow$ VarTree a
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||||
Node3 : VarTree $\rightarrow$ VarTree a $\rightarrow$ VarTree a $\rightarrow$ VarTree a
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||||
\end{lstlisting}
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||||
Hierbe ist also \texttt{Node1} ein Knoten mit einem Nachfolger \texttt{m}, \texttt{Node2 l r} ein Knoten mit einem linken Nachfolger \texttt{l} und rechtem Nachfolger \texttt{r},
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||||
und \texttt{Node3 l m r} ein Knoten mit linkem Nachfolger \texttt{l}, mittlerem Nachfolger \texttt{m} und rechtem Nachfolger \texttt{r}.
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||||
\vfill
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||||
Definieren Sie induktiv eine Funktion \lstinline[keywords=VarTree]{mirror : VarTree a $\rightarrow$ VarTree a}, die einen solchen Baum spiegelt und zeigen Sie
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||||
per struktureller Induktion, dass \texttt{mirror} eine \textbf{Involution} darstellt, das heißt:
|
||||
\[
|
||||
\forall \texttt{t. mirror (mirror t) = t}
|
||||
\]
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\end{document}
|
||||
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