% ..............................................................................
% Demo of the fau-beamer template.
%
% Copyright 2022 by Tim Roith <tim.roith@fau.de>
%
% This program can be redistributed and/or modified under the terms
% of the GNU Public License, version 2.
%
% ------------------------------------------------------------------------------
\documentclass[final]{beamer}

% ========================================================================================
% Theme: inner, outer, font and colors
% ----------------------------------------------------------------------------------------
\usepackage[institute=Tech,
			%SecondLogo = template-art/FAUWortmarkeBlau.pdf,
			%ThirdLogo = template-art/FAUWortmarkeBlau.pdf,
			%WordMark=None,
			aspectratio=169,
			fontsize=11,
			fontbaselineskip=13,
			scale=1.
		   ]{styles/beamerthemefau}


% ----------------------------------------------------------------------------------------
% Input and output encoding
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
% ----------------------------------------------------------------------------------------
% Language settings
\usepackage[german]{babel}

% ========================================================================================
% Fonts
% - Helvet is loaded by styles/beamerfonts
% - We use serif for math environements
% - isomath is used for upGreek letters
% ----------------------------------------------------------------------------------------
\usepackage{isomath}
%\usefonttheme[onlymath]{serif}
\usepackage{mathpartir}
\usepackage{exscale}
\usepackage{anyfontsize}
\setbeamercolor{alerted text}{fg=BaseColor}
% ----------------------------------------------------------------------------------------
% custom commands for symbols
\usepackage{styles/symbols}

\usepackage{tikz-cd}
\usetikzlibrary{cd, babel}

% ========================================================================================
% Setup for Titlepage
% ----------------------------------------------------------------------------------------
\title[fau-beamer]{Theorie der Programmierung}
\subtitle{\texorpdfstring{Übung 06 - der (ungetypte) $\lambda$-Kalkül II}{Übung 06 - der (ungetypte) Lambda-Kalkül II}}
\author[L. Vatthauer]{
Leon Vatthauer}
%

% Instead of \institute you can also use the \thanks command
% ------------------------------------------------
%\author[T. Roith]{
%Tim Roith\thanks{Friedrich-Alexander Universität Erlangen-Nürnberg, Department Mathematik}\and%
%Second Author\thanks{Second Insitute}\and%
%Third Author\thanks{Third Insitute}%
%}

\date{\today}


% ================================================
% Bibliography
% ------------------------------------------------
\usepackage{csquotes}
\usepackage[style=alphabetic, %alternatively: numeric, numeric-comp, and other from biblatex
			defernumbers=true,
			useprefix=true,%
			giveninits=true,%
			hyperref=true,%
			autocite=inline,%
			maxcitenames=5,%
			maxbibnames=20,%
			uniquename=init,%
			sortcites=true,% sort citations when multiple entries are passed to one cite command
			doi=true,%
			isbn=false,%
			url=false,%
			eprint=false,%
			backend=biber%
		   ]{biblatex}
\addbibresource{bibliography.bib}
\setbeamertemplate{bibliography item}[text]
\babeltags{en=english}

% ================================================
% Hyperref and setup
% ------------------------------------------------
\usepackage{hyperref}
\hypersetup{
	colorlinks = true,
	final=true, 
	plainpages=false,
	pdfstartview=FitV,
	pdftoolbar=true,
	pdfmenubar=true,
	pdfencoding=auto,
	psdextra,
	bookmarksopen=true,
	bookmarksnumbered=true,
	breaklinks=true,
	linktocpage=true,
	urlcolor=BaseColor,
	citecolor=BaseColor,
	linkcolor=BaseColor,
	unicode = true
}

% ================================================
% Additional packages
% ------------------------------------------------
\usepackage{listings}     
\usepackage{lstautogobble}  % Fix relative indenting
\usepackage{color}          % Code coloring
\usepackage{zi4}            % Nice font

\definecolor{bluekeywords}{rgb}{0.13, 0.13, 1}
\definecolor{greencomments}{rgb}{0, 0.5, 0}
\definecolor{redstrings}{rgb}{0.9, 0, 0}
\definecolor{graynumbers}{rgb}{0.5, 0.5, 0.5}
\lstset{
    autogobble=true,
    columns=fullflexible,
    showspaces=false,
    showtabs=false,
    breaklines=true,
    showstringspaces=false,
    breakatwhitespace=true,
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    commentstyle=\color{greencomments},
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    basicstyle=\ttfamily\normalsize,
	mathescape=true,
    %frame=l,
    framesep=12pt,
    xleftmargin=.1\textwidth,%12pt,
    tabsize=4,
    captionpos=b
}
% end of listings setup

% ================================================
% Various custom commands
% ------------------------------------------------
%\setbeameroption{show notes on second screen}
\begingroup\expandafter\expandafter\expandafter\endgroup
\expandafter\ifx\csname pdfsuppresswarningpagegroup\endcsname\relax
\else
  \pdfsuppresswarningpagegroup=1\relax
\fi
% Change color for cite locally
\newcommand{\colorcite}[3]{{\hypersetup{citecolor=#1}{\cite[#2]{#3}}}} 
% ------------------------------------------------
% ================================================
% The main document
% ------------------------------------------------
\begin{document}
% Title page
\begin{frame}[t,titleimage]{-}
\titlepage%
\end{frame}

\newcommand{\isaeq}{=_\alpha^?}
\newcommand{\isbr}{\rightarrow_\beta^?}

\newcommand{\betared}{\rightarrow_\beta}
\newcommand{\alphaeq}{=_\alpha}
\newcommand{\deltared}{\rightarrow_\delta}
\newcommand{\etared}{\rightarrow_\eta}
\newcommand{\betadeltared}{\rightarrow_{\beta\delta}^*}

\newcommand{\ceil}[1]{\lceil {#1} \rceil}

\newcommand{\definitionAlphaEq}{
	\begin{block}{$\alpha$-Äquivalenz}
		Zwei Terme $t_1, t_2$ heißen $\alpha$-Äquivalent, wenn sie durch Umbenennung gebundener Variablen auseinander hervorgehen. Formal:
		$$\lambda x.t \alphaeq \lambda y.t[y / x]\quad\text{wenn } y \not\in FV(t)$$
	\end{block}
}

\newcommand{\definitionBetaReduction}{
	\begin{block}{$\beta$-Reduktion}
		Die $\beta$-Reduktion modelliert das Ausrechnen einer Funktionsanwendung, z.B: $(\lambda x.3 + x)\, 5 \betared 3 + 5$
		
		Die Einschrittreduktion $\betared$ ist:
		$$C((\lambda x.t)\,s) \rightarrow_\beta C(t[s / x])$$
	\end{block}
}
\newcommand{\churchnumerals}{
	\begin{block}{Church-Numerale}
		\begin{equation*}\ceil{n} := \lambda f\,a.\underbrace{f(f(f(\ldots f}_n\, a)))\tag{1}\end{equation*}
		\noindent
		\begin{minipage}{0.45\textwidth}
			\begin{align*}
				&zero = \lambda f\,a.a\\
				&succ\,n = \lambda f\,a.f\,(n\,f\,a)
			\end{align*}
		\end{minipage}
		\begin{minipage}{0.45\textwidth}
			\begin{alignat*}{2}
				&one &&= succ\,zero\\
				&two &&= succ\,one\\
				&three &&= succ\,two\\
				&four &&= succ\,three
			\end{alignat*}
		\end{minipage}
	\end{block}
}

\AtBeginSection{}
\lstset{
	morekeywords={if, then, else}
}
% Introduction
\section{Church-Numerale}
\begin{frame}[t, fragile]{Church-Numerale}
	Wir betrachten erneut die Church-Kodierung natürlicher Zahlen vom vorigen Übungsblatt:
	$$\ceil{n} := \lambda f\,a.\,\underbrace{f(f(f(\ldots f}_{n}\,a)))$$
	mit einheitlicher Kodierung

	\noindent
	\begin{minipage}{.45\textwidth}
		\begin{lstlisting}
			zero   = $\lambda$ f a. a
			succ n = $\lambda$ f a. f (n f a)
		\end{lstlisting}
	\end{minipage}
	\begin{minipage}{.45\textwidth}
		\begin{lstlisting}
			one   = succ zero
			two   = succ one
			three = succ two
			four  = succ three
		\end{lstlisting}
	\end{minipage}

	sowie den Operationen \texttt{add} und \texttt{mult} mit der entsprechenden Semantik.
	\\\;\\
	\textbf{Notation: } Von nun an schreiben wir \texttt{s + t} und \texttt{s * t} anstelle von \texttt{add s t} und \texttt{mult s t} und verwenden die $\beta\delta$-Regeln
	\[
		\ceil{n} + \ceil{m} \betadeltared \ceil{n + m} \qquad\qquad\qquad \ceil{n} * \ceil{m} \betadeltared \ceil{n \cdot m}
	\]
\end{frame}

\section{Aufgabe 1 - Church-Kodierung von Booleans}

\begin{frame}[t]{Aufgabe 1.1}{Church-Kodierung von Booleans}
	Boolesche Wahrheitswerte werden als $\lambda$-Terme wie folgt definiert:
	\begin{alignat*}{2}
		&true &&= \lambda x\,y.\,x\\
		&false &&= \lambda x\,y.\,y\\
		&ite &&= \lambda b\,x\,y.\,b\,x\,y
	\end{alignat*}
	\,\\
	Zeigen Sie, das für alle $\lambda$-Terme $s$ und $t$ gilt:
	
	\centering
	$$ite\,true\,s\,t \betadeltared s\quad\quad\quad\quad\quad\quad ite\,false\,s\,t \betadeltared t$$

\end{frame}

\begin{frame}[t]{Aufgabe 1.2}{Church-Kodierung von Booleans}
	Boolesche Wahrheitswerte werden als $\lambda$-Terme wie folgt definiert:
	\begin{alignat*}{2}
		&true &&= \lambda x\,y.\,x\\
		&false &&= \lambda x\,y.\,y\\
		&ite &&= \lambda b\,x\,y.\,b\,x\,y
	\end{alignat*}
	\,\\
	Vervollständigen Sie die folgenden Funktionsdefinitionen so, dass sie (unter normaler Reduktion) boolesche Negation, exklusives Oder und Implikation berechnen:
	\begin{alignat*}{2}
		&not\,b &&= \ldots\\
		&xor\,b1\,b2 &&= \ldots\\
		&imp\,b1\,b2 &&= \ldots
	\end{alignat*}
	\,\\
	\textbf{Notation: } Von nun an schreiben wir „\textbf{if} $s$ \textbf{then} $t$ \textbf{else} $u$“ anstelle von „$ite\; s\; t\; u$“

\end{frame}

\section{Aufgabe 2 - Rekursive Definitionen}
\begin{frame}[t]{Aufgabe 2}{Rekursive Definitionen}

	In den meisten funktionalen Programmiersprachen sind \textit{rekursive} Funktionsdefinitionen zulässig, das heißt, die definierte Funktion darf auf der rechten Seite einer solchen Funktionsdefinition vorkommen.
	Rekursive Funktionsdefinitionen entsprechen - wie in Übung 2, Blatt 5 - $\delta$-Reduktionen.
	\\\,\\
	\textbf{Hinweis.}\quad Nehmen Sie an, dass die Subtraktion von natürlichen Zahlen (in Form von Church-Numeralen) im $\lambda$-Kalkül darstellbar ist, d.h. für $n \geq 1$ gilt $\ceil{n} - \ceil{1} \betadeltared \ceil{n - 1}$,
	und dass ebenso die üblichen Vergleichsoperationen möglich sind, d.h. $\ceil{n} \leq \ceil{1} \leftrightarrow_{\beta\delta}^* true$, wenn $n \leq 1$ usw. Siehe dazu Aufgabe 4.
\end{frame}

\newcommand{\hintone}{
	\begin{block}{Hinweis}
		\centering
		$\ceil{n} - \ceil{1} \betadeltared \ceil{n - 1}$ für $n \geq 1$
		\[
			\ceil{n} \leq \ceil{m} \leftrightarrow_{\beta\delta}^* 
			\begin{cases}
				true & \text{falls } n \leq m\\
				false & \text{sonst}
			\end{cases}	
		\]
		\[
			\ceil{n} == \ceil{m} \leftrightarrow_{\beta\delta}^* 
			\begin{cases}
				true & \text{falls } n = m\\
				false & \text{sonst}
			\end{cases}
		\]
	\end{block}
}

\begin{frame}[t, fragile]{Aufgabe 2.1}{Rekursive Definitionen}

	Wir betrachten die folgende rekursive Funktion:
	\begin{lstlisting}
		fact n = if n $\leq$ $\ceil{1}$ then $\ceil{1}$ else n * (fact (n - $\ceil{1}$))
	\end{lstlisting}
	\,\\
	Zeigen Sie, dass $fact \ceil{3} \betadeltared \ceil{6}$.
	\\\vfill
	\hintone
\end{frame}

\begin{frame}[t, fragile]{Aufgabe 2.2}{Rekursive Definitionen}

	Schreiben Sie eine rekursive Funktion $odd$, sodass:
	\[
		odd\,\ceil{n} = \begin{cases}
			true & \text{falls } n \text{ gerade}\\
			false & \text{sonst}
		\end{cases}
	\]
	\hintone
\end{frame}

\begin{frame}[t, fragile]{Aufgabe 2.3}{Rekursive Definitionen}

	Schreiben Sie eine rekursive Funktion $halve$, sodass:
	\begin{lstlisting}[]
		($\ceil{2}$ * halve $\ceil{n}$) + (if odd $\ceil{n}$ then $\ceil{1}$ else $\ceil{0}$) $\betadeltared$ $\ceil{n}$
	\end{lstlisting}
	\hintone
\end{frame}

\newcommand{\reductionstrats}{
	\noindent\centering
	\begin{minipage}{.48\textwidth}
		\begin{block}{Applikative Reduktion $\rightarrow_a$}
			\begin{itemize}
				\item $(\lambda x.t)\,s \rightarrow_a t[s/x]$, wenn $t$ und $s$ normal
				\item $\lambda x.t \rightarrow_a \lambda x.t'$, wenn $t \rightarrow_a t'$
				\item $t\,s \rightarrow_a t'\,s$, wenn $t \rightarrow_a t'$\\\,\\
				\item $t\,s \rightarrow_a t\,s'$, wenn $s \rightarrow_a s'$ und $t$ normal\\\,\\
			\end{itemize}
		\end{block}
	\end{minipage}
	\begin{minipage}{.48\textwidth}
		\begin{block}{Normale Reduktion $\rightarrow_n$}
			\begin{itemize}
				\item $(\lambda x.t)\,s \rightarrow_n t[s/x]$
				\item $\lambda x.t \rightarrow_n \lambda x.t'$, wenn $t \rightarrow_n t'$
				\item $t\,s \rightarrow_n t'\,s$, wenn $t \rightarrow_n t'$ und $t$ keine $\lambda$-Abstraktion
				\item $t\,s \rightarrow_n t\,s'$, wenn $s \rightarrow_n s'$ und $t$ normal und keine $\lambda$-Abstraktion
			\end{itemize}
		\end{block}
	\end{minipage}
}

\section{Aufgabe 3 - Auswertungsstrategien}

\begin{frame}[t]{Aufgabe 3}{Auswertungsstrategien}

In der Vorlesung haben Sie verschiedene Reduktionsstrategien für den ungetypten $\lambda$-Kalkül kennengelernt.
Diese unterscheiden sich hauptsächlich in den Zeitpunkten, zu denen $\beta$-Redexe \textit{kontrahiert} werden, also wann in einem Term die $\beta$-Regel angewandt wird.
\vfill
\reductionstrats
\end{frame}


\begin{frame}[t]{Aufgabe 3.1}{Auswertungsstrategien}

	Welcher Redex im $\lambda$-Term
	\begin{enumerate}
		\item[(a)] $(\lambda x.\lambda y.\,y\,(\lambda z.\,x))\,(u\, u)\,(\lambda v.\,v\,((\lambda w.\,w)\,(\lambda w.\,w)))$
		\item[(b)] $(\lambda u.\,u\,(\lambda y.\,z))\,(\lambda x.\,x\,((\lambda v.\,v)\,w))$ 
	\end{enumerate}
	muss nicht kontrahiert werden, um die Normalform zu erreichen? Reduzieren Sie den Term durch $\beta\delta$-Reduktion zur Normalform, ohne diesen Redex zu kontrahieren.
	\vfill
	\reductionstrats
\end{frame}

\begin{frame}[t]{Aufgabe 3.2}{Auswertungsstrategien}

	Wir schreiben wie aus der Vorlesung bekannt $I = (\lambda x.\,x)$ und $\Omega = (\lambda x.\,x\,x)$. 

	Reduzieren Sie den Term $\lambda f.\,f\,I\,(\Omega\,\Omega)(\lambda x\,y.\,x\,x)$ mittels
	\begin{enumerate}
		\item[(a)] applikativer Reduktion,
		\item[(b)] normaler Reduktion.
	\end{enumerate}
	Unterstreichen Sie in jedem Schritt den zu reduzierenden Redex. Betrachten Sie in dieser Aufgabe $\delta$-Reduktion als explizite Schritte!
	\vfill
	\reductionstrats
\end{frame}

\begin{frame}[t, fragile]{Aufgabe 3.3 a)}{Auswertungsstrategien}

	Man erinnere sich an folgende auf Church-Kodierungen definierten Funktionen:

	\lstset{
		morecomment=[f][\color{greencomments}][0]{--}
	}
	\begin{minipage}{.2\textwidth}
		\begin{lstlisting}
			-- Allgemein
			twice = $\lambda$f x. f (f x)
		\end{lstlisting}
	\end{minipage}
	\begin{minipage}{.25\textwidth}
		\begin{lstlisting}
			-- Church-Booleans
			true = $\lambda$ x y. x
			false = $\lambda$ x y. y
		\end{lstlisting}
	\end{minipage}
	\begin{minipage}{.45\textwidth}
		\begin{lstlisting}
			-- Church-Paare
			pair = $\lambda$ a b select. select a b
			fst = $\lambda$ p. p ($\lambda$ x y. x)
			snd = $\lambda$ p. p ($\lambda$ x y. y)
		\end{lstlisting}
	\end{minipage}
	
	Geben Sie die ersten fünf $\beta\delta$-Reduktionsschritte des Terms
	\begin{lstlisting}
		twice fst (pair (pair true false) true)
	\end{lstlisting}
	unter \textbf{a) normaler} und b) applikativer Reduktion an. Markieren Sie (durch Unterstreichen) in jedem Schritt den zu reduzierenden Redex.

	\begin{block}{Normale Reduktion $\rightarrow_n$}
		\begin{itemize}
			\item $(\lambda x.t)\,s \rightarrow_n t[s/x]$
			\item $\lambda x.t \rightarrow_n \lambda x.t'$, wenn $t \rightarrow_n t'$
			\item $t\,s \rightarrow_n t'\,s$, wenn $t \rightarrow_n t'$ und $t$ keine $\lambda$-Abstraktion
			\item $t\,s \rightarrow_n t\,s'$, wenn $s \rightarrow_n s'$ und $t$ normal und keine $\lambda$-Abstraktion
		\end{itemize}
	\end{block}
\end{frame}

\begin{frame}[t, fragile]{Aufgabe 3.3 b)}{Auswertungsstrategien}

	Man erinnere sich an folgende auf Church-Kodierungen definierten Funktionen:

	\lstset{
		morecomment=[f][\color{greencomments}][0]{--}
	}
	\begin{minipage}{.2\textwidth}
		\begin{lstlisting}
			-- Allgemein
			twice = $\lambda$f x. f (f x)
		\end{lstlisting}
	\end{minipage}
	\begin{minipage}{.25\textwidth}
		\begin{lstlisting}
			-- Church-Booleans
			true = $\lambda$ x y. x
			false = $\lambda$ x y. y
		\end{lstlisting}
	\end{minipage}
	\begin{minipage}{.45\textwidth}
		\begin{lstlisting}
			-- Church-Paare
			pair = $\lambda$ a b select. select a b
			fst = $\lambda$ p. p ($\lambda$ x y. x)
			snd = $\lambda$ p. p ($\lambda$ x y. y)
		\end{lstlisting}
	\end{minipage}
	
	Geben Sie die ersten fünf $\beta\delta$-Reduktionsschritte des Terms
	\begin{lstlisting}
		twice fst (pair (pair true false) true)
	\end{lstlisting}
	unter a) normaler und \textbf{b) applikativer} Reduktion an. Markieren Sie (durch Unterstreichen) in jedem Schritt den zu reduzierenden Redex.

	\begin{block}{Applikative Reduktion $\rightarrow_a$}
		\begin{itemize}
			\item $(\lambda x.t)\,s \rightarrow_a t[s/x]$, wenn $t$ und $s$ normal
			\item $\lambda x.t \rightarrow_a \lambda x.t'$, wenn $t \rightarrow_a t'$
			\item $t\,s \rightarrow_a t'\,s$, wenn $t \rightarrow_a t'$
			\item $t\,s \rightarrow_a t\,s'$, wenn $s \rightarrow_a s'$ und $t$ normal
		\end{itemize}
	\end{block}
\end{frame}

% input exmple sections
%\input{sections/01_Intro_Landscape}
\end{document}