% ..............................................................................
% Demo of the fau-beamer template.
%
% Copyright 2022 by Tim Roith <tim.roith@fau.de>
%
% This program can be redistributed and/or modified under the terms
% of the GNU Public License, version 2.
%
% ------------------------------------------------------------------------------
\documentclass[final]{beamer}

% ========================================================================================
% Theme: inner, outer, font and colors
% ----------------------------------------------------------------------------------------
\usepackage[institute=Tech,
			%SecondLogo = template-art/FAUWortmarkeBlau.pdf,
			%ThirdLogo = template-art/FAUWortmarkeBlau.pdf,
			%WordMark=None,
			aspectratio=169,
			fontsize=11,
			fontbaselineskip=13,
			scale=1.
		   ]{styles/beamerthemefau}
% ----------------------------------------------------------------------------------------
% Input and output encoding
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
% ----------------------------------------------------------------------------------------
% Language settings
\usepackage[german]{babel}

% ========================================================================================
% Fonts
% - Helvet is loaded by styles/beamerfonts
% - We use serif for math environements
% - isomath is used for upGreek letters
% ----------------------------------------------------------------------------------------
\usepackage{isomath}
%\usefonttheme[onlymath]{serif}
\usepackage{exscale}
\usepackage{anyfontsize}
\setbeamercolor{alerted text}{fg=BaseColor}
% ----------------------------------------------------------------------------------------
% custom commands for symbols
\usepackage{styles/symbols}
\usepackage{tikz-cd}
\usetikzlibrary{cd, babel}

% ========================================================================================
% Setup for Titlepage
% ----------------------------------------------------------------------------------------
\title[fau-beamer]{Theorie der Programmierung}
\subtitle{\texorpdfstring{Übung 09 - Strukturelle Induktion}{Übung 09 - Strukturelle Induktion}}
\author[L. Vatthauer]{
Leon Vatthauer}
%

% Instead of \institute you can also use the \thanks command
% ------------------------------------------------
%\author[T. Roith]{
%Tim Roith\thanks{Friedrich-Alexander Universität Erlangen-Nürnberg, Department Mathematik}\and%
%Second Author\thanks{Second Insitute}\and%
%Third Author\thanks{Third Insitute}%
%}

\usepackage[useregional]{datetime2}

\date{\DTMdisplaydate{2023}{6}{26}{-1}}


% ================================================
% Bibliography
% ------------------------------------------------
\usepackage{csquotes}
\usepackage[style=alphabetic, %alternatively: numeric, numeric-comp, and other from biblatex
			defernumbers=true,
			useprefix=true,%
			giveninits=true,%
			hyperref=true,%
			autocite=inline,%
			maxcitenames=5,%
			maxbibnames=20,%
			uniquename=init,%
			sortcites=true,% sort citations when multiple entries are passed to one cite command
			doi=true,%
			isbn=false,%
			url=false,%
			eprint=false,%
			backend=biber%
		   ]{biblatex}
\addbibresource{bibliography.bib}
\setbeamertemplate{bibliography item}[text]
\babeltags{en=english}

% ================================================
% Hyperref and setup
% ------------------------------------------------
\usepackage{hyperref}
\hypersetup{
	colorlinks = true,
	final=true, 
	plainpages=false,
	pdfstartview=FitV,
	pdftoolbar=true,
	pdfmenubar=true,
	pdfencoding=auto,
	psdextra,
	bookmarksopen=true,
	bookmarksnumbered=true,
	breaklinks=true,
	linktocpage=true,
	urlcolor=BaseColor,
	citecolor=BaseColor,
	linkcolor=BaseColor,
	unicode = true
}

% ================================================
% Additional packages
% ------------------------------------------------
\usepackage{listings}     
\usepackage{lstautogobble}  % Fix relative indenting
\usepackage{color}          % Code coloring
\usepackage{zi4}            % Nice font

\definecolor{bluekeywords}{rgb}{0.13, 0.13, 1}
\definecolor{greencomments}{rgb}{0, 0.5, 0}
\definecolor{redstrings}{rgb}{0.9, 0, 0}
\definecolor{graynumbers}{rgb}{0.5, 0.5, 0.5}
\lstset{
    %autogobble,
    columns=fullflexible,
    showspaces=false,
    showtabs=false,
    breaklines=true,
    showstringspaces=false,
    breakatwhitespace=true,
    escapeinside={(*@}{@*)},
    commentstyle=\color{greencomments},
    %keywordstyle=\color{bluekeywords},
    stringstyle=\color{redstrings},
    numberstyle=\color{graynumbers},
    basicstyle=\ttfamily\normalsize,
	mathescape=true,
    %frame=l,
    %framesep=12pt,
    %xleftmargin=.1\textwidth,%12pt,
    tabsize=4,
    captionpos=b
}
\usepackage{mathpartir}
\usepackage{enumerate}
\usepackage{multicol}
%\usepackage[centercolon=true]{mathtools}
% end of listings setup

% ================================================
% Various custom commands
% ------------------------------------------------
%\setbeameroption{show notes on second screen}
\begingroup\expandafter\expandafter\expandafter\endgroup
\expandafter\ifx\csname pdfsuppresswarningpagegroup\endcsname\relax
\else
  \pdfsuppresswarningpagegroup=1\relax
\fi
% Change color for cite locally
\newcommand{\colorcite}[3]{{\hypersetup{citecolor=#1}{\cite[#2]{#3}}}} 
% ------------------------------------------------
% ================================================
% The main document
% ------------------------------------------------
\begin{document}
% Title page
\begin{frame}[t, titleimage]{-}
\titlepage%
\end{frame}

\newcommand{\isaeq}{=_\alpha^?}
\newcommand{\isbr}{\rightarrow_\beta^?}

\newcommand{\betared}{\rightarrow_\beta}
\newcommand{\alphaeq}{=_\alpha}
\newcommand{\deltared}{\rightarrow_\delta}
\newcommand{\etared}{\rightarrow_\eta}
\newcommand{\betadeltared}{\rightarrow_{\beta\delta}^*}

\newcommand{\ceil}[1]{\lceil {#1} \rceil}

\newcommand{\typing}{
	\begin{block}{Typisierung}
		Wir lesen $\Gamma \vdash t : \alpha$ als „im Kontext $\Gamma$ hat der Term $t$ den Typ $\alpha$“ und definieren diese Relation wie folgt:
		\[
		\begin{array}{c c}
			\infer* [left=\text{(Ax)}, right=\text{($x : \alpha \in \Gamma$)}]{\;} {\Gamma \vdash x : \alpha} & \infer* [left=\text{($\rightarrow_i$)}] {\Gamma[x\mapsto \alpha] \vdash t : \beta} {\Gamma \vdash \lambda x.t : \alpha \rightarrow \beta}\\
			\\
			\multicolumn{2}{c}{
				\infer* [left=\text{($\rightarrow_e$)}] {\Gamma \vdash t : \alpha \rightarrow \beta \\ \Gamma \vdash s : \alpha} {\Gamma \vdash t\;s : \beta}
			}
		\end{array}
		\]
	\end{block}
}

\AtBeginSection{}

% Introduction
\section{Aufgabe 1 - Beweise mittels struktureller Induktion}
\begin{frame}[t, fragile]{Aufgabe 1}{Beweise mittels struktureller Induktion}
    Wir betrachten die folgenden Funktionen auf Listen:

    \begin{minipage}{.45\textwidth}
        \begin{lstlisting}[keywords={List, Nat}]
length : List a $\rightarrow$ Nat
length Nil = 0
length (Cons x xs) = 1 + length xs
        \end{lstlisting}
    \end{minipage}
    \begin{minipage}{.5\textwidth}
        \begin{lstlisting}[keywords={List, Nat}]
reverse : List a $\rightarrow$ List a
reverse Nil = Nil
reverse (Cons x xs) = snoc (reverse xs) x
        \end{lstlisting}
    \end{minipage}
    \begin{minipage}{.5\textwidth}
        \begin{lstlisting}[keywords={List, Nat}]
snoc : List a $\rightarrow$ List a
snoc Nil y = Cons y Nil
snoc (Cons x xs) y = Cons x (snoc xs y)
        \end{lstlisting}
    \end{minipage}

    Wir zeigen einige Eigenschaften dieser Funktionen. Beweisen Sie diese jeweils durch Induktion über der Struktur der Argumentliste. 
    Rechtfertigen Sie hierbei Ihre Schritte und geben Sie jeweils ihre Induktionshypothese an.
    
    \textit{Hinweis:} Wir erinnern daran, dass $s = t$ als $s \leftrightarrow_{\beta\delta} t$ zu lesen ist. 
    Außerdem können Sie jederzeit zuvor bewiesene Eigenschaften verwenden.
\end{frame}

\begin{frame}[t, fragile]{Aufgabe 1}{Beweise mittels struktureller Induktion}
    Wir betrachten die folgenden Funktionen auf Listen:

    \begin{minipage}{.45\textwidth}
        \begin{lstlisting}[keywords={List, Nat}]
length : List a $\rightarrow$ Nat
length Nil = 0
length (Cons x xs) = 1 + length xs
        \end{lstlisting}
    \end{minipage}
    \begin{minipage}{.5\textwidth}
        \begin{lstlisting}[keywords={List, Nat}]
reverse : List a $\rightarrow$ List a
reverse Nil = Nil
reverse (Cons x xs) = snoc (reverse xs) x
        \end{lstlisting}
    \end{minipage}
    \begin{minipage}{.5\textwidth}
        \begin{lstlisting}[keywords={List, Nat}]
snoc : List a $\rightarrow$ List a
snoc Nil y = Cons y Nil
snoc (Cons x xs) y = Cons x (snoc xs y)
        \end{lstlisting}
    \end{minipage}
    \vfill
    Beweisen Sie mittels Induktion:
    \begin{enumerate}
        \item \texttt{$\forall$x xs. length (snoc xs x) = 1 + length xs}
        \pause
        \item \texttt{$\forall$xs. length (reverse xs) = length xs}
    \end{enumerate}

\end{frame}

\section{Aufgabe 2 - Eine binäre Funktion: Listenkonkatenation}
\begin{frame}[t, fragile]{Aufgabe 2}{Eine binäre Funktion: Listenkonkatenation}
    Wir betrachten die folgende Definition einer Funktion zur Listenkonkatenation:
    \begin{lstlisting}[keywords={List, Nat}]
        ($\oplus$) : List a $\rightarrow$ List a $\rightarrow$ List a
        Nil $\oplus$ ys = ys
        (Cons x xs) $\oplus$ ys = Cons x (xs $\oplus$ ys)
    \end{lstlisting}
    Wir möchten die folgende Eigenschaft mittels struktureller Induktion beweisen:
    $$\forall \texttt{xs ys. length (xs $\oplus$ ys) = length xs + length ys}$$
    \begin{enumerate}
        \item Über welche Liste(n) sollten wir induzieren, über das erste Argument von (\_ $\oplus$ \_), über das zweite, oder über beide? Warum?
        \pause
        \item Beweisen Sie die oben angegebene Eigenschaft; begründen Sie Ihre Schritte und geben Sie explizit an, an welcher Stelle die Induktionshypothese verwendet wird.
    \end{enumerate}
\end{frame}

\section{Aufgabe 3 - Induktion über Bäume}
\begin{frame}[t, fragile]{Aufgabe 3.1}{Induktion über Bäume}
    Wir erinnern uns an den induktiven Datentyp der binären Bäume von Blatt 8 und die Funktion \texttt{size}, die die Knoten eines Baums zählt:

    \begin{minipage}{.5\textwidth}
        \begin{lstlisting}[keywords={List, Nat, Tree, data, where}]
data Tree a where
    Leaf : a $\rightarrow$ Tree a
    Inner : a $\rightarrow$ Tree a $\rightarrow$ Tree a $\rightarrow$ Tree a
        \end{lstlisting}
    \end{minipage}
    \begin{minipage}{.49\textwidth}
        \begin{lstlisting}[keywords={List, Nat, Tree}]
size : Tree a $\rightarrow$ Nat
size (Leaf x) = 1
size (Inner x l r) = 1 + size l + size r
        \end{lstlisting}
    \end{minipage}
    \vfill
    Definieren Sie induktiv eine Funktion \lstinline[keywords={List, Tree}]{inorder : Tree a $\rightarrow$ List a}, die die Elemente eines Baumes
    gemäß ener In-Order-Traversierung von links nach rechts ausgibt. Zeigen Sie dann per struktureller Induktion über Bäume, dass
    $$\forall\texttt{t. length (inorder t) = size t}$$
\end{frame}
\begin{frame}[t, fragile]{Aufgabe 3.2}{Induktion über Bäume}
    Wir betrachten im folgenden einen parametrischen induktiven Datentyp für Bäume, deren Blätter Elemente vom Typ $a$ enthalten, und deren innere Knoten jeweils
    bis zu drei Kinder haben, selbst aber keine Werte enthalten:
    \begin{lstlisting}[keywords={VarTree}]
data VarTree a where
    VLeaf : a $\rightarrow$ VarTree a
    Node1 : VarTree a $\rightarrow$ VarTree a
    Node2 : VarTree $\rightarrow$ VarTree a $\rightarrow$ VarTree a
    Node3 : VarTree $\rightarrow$ VarTree a $\rightarrow$ VarTree a $\rightarrow$ VarTree a
    \end{lstlisting}
    Hierbe ist also \texttt{Node1} ein Knoten mit einem Nachfolger \texttt{m}, \texttt{Node2 l r} ein Knoten mit einem linken Nachfolger \texttt{l} und rechtem Nachfolger \texttt{r}, 
    und \texttt{Node3 l m r} ein Knoten mit linkem Nachfolger \texttt{l}, mittlerem Nachfolger \texttt{m} und rechtem Nachfolger \texttt{r}.
    \vfill
    Definieren Sie induktiv eine Funktion \lstinline[keywords=VarTree]{mirror : VarTree a $\rightarrow$ VarTree a}, die einen solchen Baum spiegelt und zeigen Sie
    per struktureller Induktion, dass \texttt{mirror} eine \textbf{Involution} darstellt, das heißt:
    \[
        \forall \texttt{t. mirror (mirror t) = t}    
    \]
\end{frame}

\end{document}