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% Demo of the fau-beamer template.
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% Copyright 2022 by Tim Roith <tim.roith@fau.de>
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% This program can be redistributed and/or modified under the terms
% of the GNU Public License, version 2.
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\documentclass[final]{beamer}

% ========================================================================================
% Theme: inner, outer, font and colors
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\usepackage[institute=Tech,
			%SecondLogo = template-art/FAUWortmarkeBlau.pdf,
			%ThirdLogo = template-art/FAUWortmarkeBlau.pdf,
			%WordMark=None,
			aspectratio=169,
			fontsize=11,
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			scale=1.
		   ]{styles/beamerthemefau}
% ----------------------------------------------------------------------------------------
% Input and output encoding
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
% ----------------------------------------------------------------------------------------
% Language settings
\usepackage[german]{babel}

% ========================================================================================
% Fonts
% - Helvet is loaded by styles/beamerfonts
% - We use serif for math environements
% - isomath is used for upGreek letters
% ----------------------------------------------------------------------------------------
\usepackage{isomath}
\usefonttheme[onlymath]{serif}
\usepackage{exscale}
\usepackage{anyfontsize}
\setbeamercolor{alerted text}{fg=BaseColor}
% ----------------------------------------------------------------------------------------
% custom commands for symbols
\usepackage{styles/symbols}

\usepackage{tikz-cd}
\usetikzlibrary{cd, babel}

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% Setup for Titlepage
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\title[fau-beamer]{Theorie der Programmierung}
\subtitle{\texorpdfstring{Übung 05 - der (ungetypte) $\lambda$-Kalkül}{Übung 05 - der (ungetypte) Lambda-Kalkül}}
\author[L. Vatthauer]{
Leon Vatthauer}
%

% Instead of \institute you can also use the \thanks command
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%\author[T. Roith]{
%Tim Roith\thanks{Friedrich-Alexander Universität Erlangen-Nürnberg, Department Mathematik}\and%
%Second Author\thanks{Second Insitute}\and%
%Third Author\thanks{Third Insitute}%
%}

\date{\today}


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% Bibliography
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\usepackage{csquotes}
\usepackage[style=alphabetic, %alternatively: numeric, numeric-comp, and other from biblatex
			defernumbers=true,
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		   ]{biblatex}
\addbibresource{bibliography.bib}
\setbeamertemplate{bibliography item}[text]
\babeltags{en=english}

% ================================================
% Hyperref and setup
% ------------------------------------------------
\usepackage{hyperref}
\hypersetup{
	colorlinks = true,
	final=true, 
	plainpages=false,
	pdfstartview=FitV,
	pdftoolbar=true,
	pdfmenubar=true,
	pdfencoding=auto,
	psdextra,
	bookmarksopen=true,
	bookmarksnumbered=true,
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	urlcolor=BaseColor,
	citecolor=BaseColor,
	linkcolor=BaseColor,
	unicode = true
}

% ================================================
% Additional packages
% ------------------------------------------------


% ================================================
% Various custom commands
% ------------------------------------------------
%\setbeameroption{show notes on second screen}
\begingroup\expandafter\expandafter\expandafter\endgroup
\expandafter\ifx\csname pdfsuppresswarningpagegroup\endcsname\relax
\else
  \pdfsuppresswarningpagegroup=1\relax
\fi
% Change color for cite locally
\newcommand{\colorcite}[3]{{\hypersetup{citecolor=#1}{\cite[#2]{#3}}}} 
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% ================================================
% The main document
% ------------------------------------------------
\begin{document}
% Title page
\begin{frame}[t,titleimage]{-}
\titlepage%
\end{frame}

\newcommand{\isaeq}{=_\alpha^?}
\newcommand{\isbr}{\rightarrow_\beta^?}

\newcommand{\betared}{\rightarrow_\beta}
\newcommand{\alphaeq}{=_\alpha}
\newcommand{\deltared}{\rightarrow_\delta}
\newcommand{\etared}{\rightarrow_\eta}
\newcommand{\betadeltared}{\rightarrow_{\beta\delta}^*}

\newcommand{\ceil}[1]{\lceil {#1} \rceil}

\newcommand{\definitionAlphaEq}{
	\begin{block}{$\alpha$-Äquivalenz}
		Zwei Terme $t_1, t_2$ heißen $\alpha$-Äquivalent, wenn sie durch Umbenennung gebundener Variablen auseinander hervorgehen. Formal:
		$$\lambda x.t \alphaeq \lambda y.t[y / x]\quad\text{wenn } y \not\in FV(t)$$
	\end{block}
}

\newcommand{\definitionBetaReduction}{
	\begin{block}{$\beta$-Reduktion}
		Die $\beta$-Reduktion modelliert das Ausrechnen einer Funktionsanwendung, z.B: $(\lambda x.3 + x)\; 5 \betared 3 + 5$
		
		Die Einschrittreduktion $\betared$ ist:
		$$C((\lambda x.t)\;s) \rightarrow_\beta C(t[s / x])$$
	\end{block}
}
\newcommand{\churchnumerals}{
	\begin{block}{Church-Numerale}
		\begin{equation*}\ceil{n} := \lambda f\;a.\underbrace{f(f(f(\ldots f}_n\; a)))\tag{1}\end{equation*}
		\noindent
		\begin{minipage}{0.45\textwidth}
			\begin{align*}
				&zero = \lambda f\;a.a\\
				&succ\;n = \lambda f\;a.f\;(n\;f\;a)
			\end{align*}
		\end{minipage}
		\begin{minipage}{0.45\textwidth}
			\begin{alignat*}{2}
				&one &&= succ\;zero\\
				&two &&= succ\;one\\
				&three &&= succ\;two\\
				&four &&= succ\;three
			\end{alignat*}
		\end{minipage}
	\end{block}
}

\AtBeginSection{}

% Introduction
\section{Der (ungetypte) Lambda-Kalkül}
\subsection{Terme und Konventionen}
\begin{frame}[t]{Der (ungetypte) $\lambda$-Kalkül}{Terme und Konventionen}
	\begin{block}{$\lambda$-Terme}
		$$t ::= x\;\vert\;t_1t_2\;\vert\;\lambda x.t \quad\quad (x \in V)$$
	\end{block}
	\pause
	\begin{block}{Konventionen}
		\begin{itemize}
			\item Applikation ist \textit{links-assoziativ}: \quad $x\;y\;z = (x\;y)\;z$
			\item Abstraktion reicht so weit wie möglich (Vgl. Quantoren in GLoIn)
			\item Aufeinanderfolgende Abstraktionen werden zusammengefasst: \quad $\lambda x. \lambda y. \lambda z. y\; x = \lambda x\;y\;z.y\;x$
		\end{itemize}
	\end{block}
\end{frame}
\subsection{Freie Variablen und Substitution}
\begin{frame}[t]{Der (ungetypte) $\lambda$-Kalkül}{Freie Variablen und Substitution}
	\begin{block}{Freie Variablen}
		Sei $t$ ein $\lambda$-Term, $FV(t)$ ist dann definiert durch:
		\begin{alignat*}{2}
			&FV(x) &&= \{x\} \quad (\text{für } x \in V)\\
			&FV(t\;s) &&= FV(t) \cup FV(s)\\
			&FV(\lambda x.t) &&= FV(t) \setminus \{x\}
		\end{alignat*}
	\end{block}
	\pause
	\begin{block}{Substitution}

		Eine Substitution ist eine Abbildung $\sigma : V_0 \rightarrow T(V)$, wobei $V_0 \subseteq V$ (\textit{endliche} Teilmenge).
		
		Die Anwendung einer Substitution auf $\lambda$-Terme ist ebenfalls rekursiv definiert:
		\begin{alignat*}{2}
			&x\sigma &&= \sigma (x)\\
			&(t\;s)\sigma &&= (t\sigma)\;(s\sigma)\\
			&(\lambda x.t)\sigma &&= \lambda y.(t\sigma')
		\end{alignat*}
		\centering mit $y$ frisch, also $y \not\in FV(\sigma(z))$ für alle $z \in FV(\lambda x.t)$ und $\sigma' = \sigma [x \mapsto y]$
	\end{block}
\end{frame}
\subsection{Alpha-Äquivalenz und Beta-Reduktion}
\begin{frame}[t]{Der (ungetypte) $\lambda$-Kalkül}{$\alpha$-Äquivalenz und $\beta$-Reduktion}
	\definitionAlphaEq
	\pause
	\definitionBetaReduction
\end{frame}

\section{Aufgabe 1 - Alpha-Äquivalenz und Beta-Reduktion}

\begin{frame}[t]{Aufgabe 1.1}{$\alpha$-Äquivalenz und $\beta$-Reduktion}
Entscheiden Sie für jedes der folgenden Paare von $\lambda$-Termen, ob die Terme jeweils $\alpha$-Äquivalent zueinander sind:
\begin{itemize}
	\item[(a)] $\lambda x\;y.x\;y \isaeq \lambda u\;v.u\;v$
	\item[(b)] $\lambda x\;y.x\;y \isaeq \lambda u\;v.v\;u$
	\item[(c)] $(\lambda x.x\;x)(\lambda y.y\;y) \isaeq (\lambda x.x\;x)(\lambda x.x\;x)$
\end{itemize}

\vfill

\definitionAlphaEq

\end{frame}

\begin{frame}[t]{Aufgabe 1.2}{$\alpha$-Äquivalenz und $\beta$-Reduktion}
Entscheiden Sie in jedem der folgenden Fälle, ob der jeweilige Reduktionsschritt eine zulässige $\beta$-Reduktion darstellt:
\begin{itemize}
	\item[(a)] $(\lambda x\;y\;z.x\;y\;z)(\lambda y.y\;y) \isbr \lambda y\;z.(\lambda y.y\;y)\;y\;z$
	\item[(b)] $(\lambda x\;y\;z.x\;y\;z)(y\;y) \isbr \lambda y\;z.(y\;y)\;y\;z$
	\item[(c)] $(\lambda x\;y\;z.x\;y\;z)(y\;y) \isbr \lambda y\;z.(u\;u)\;y\;z$
	\item[(d)] $(\lambda x\;y\;z.x\;y\;((\lambda u.u\;x) (y\;y)))\;u\;v \isbr (\lambda x\;y\;z.x\;y\;((y\;y)\;x))\;u\;v$
\end{itemize}

\vfill

\definitionBetaReduction

\end{frame}
\section{Aufgabe 2 - \foreignlanguage{english}{We Are Not Anonymous (Functions)}}
\begin{frame}[t]{Aufgabe 2}{\foreignlanguage{english}{We Are Not Anonymous (Functions)}}

Funktionale Programmiersprachen wie zum Beispiel Haskell oder ML erweitern den $\lambda$-Kalkül um verschiedene Konstrukte.
Insbesondere werden \textit{Definitionen} verwendet, um Funktionen zu benennen. Beispielsweise können wir die folgenden drei Gleichungen angeben:

\begin{center} 
	$flip = \lambda f\;x\;y.f\;y\;x$ \quad\quad $const = \lambda x\;y.x$ \quad\quad $twice = \lambda f\;x.f\;(f\;x)$
\end{center}
und sie als - von links nach rechts zu lesende - Reduktionsregeln betrachten, die bei der Auswertung eines $\lambda$-Terms angewendet werden können.
Um sie von $\beta$-Reduktionen zu unterscheiden, werden solche Reduktionen als $\delta$-Reduktionen bezeichnet.
Beispielsweise ist mit den obigen Definitionen die folgende Reduktion möglich:
$$(\lambda f.f\;u)\; const \rightarrow_\beta const\;u \rightarrow_\delta (\lambda x\;y.x)\;u \rightarrow_\beta \lambda y.u$$
\textbf{Hinweis:}\quad Eine derartige Reduktion, bei der sowohl $\beta$- als auch $\delta$-Schritte vorkommen können, bezeichnen wir ab sofort als $\beta\delta$-Reduktion.

\end{frame}

\begin{frame}[t]{Aufgabe 2.1}{\foreignlanguage{english}{We Are Not Anonymous (Functions)}}
	Ermitteln Sie die $\beta\delta$-Normalformen der folgenden Terme:
	\begin{itemize}
			\item[(a)] $flip\;const\;twice$
			\item[(b)] $twice\;flip$
	\end{itemize}


	\vfill


	\definitionBetaReduction

	\begin{block}{$\delta$-Reduktion}
		\begin{align*}
			&flip = \lambda f\;x\;y.f\;y\;x\\
			&const = \lambda x\;y.x\\ 
			&twice = \lambda f\;x.f\;(f\;x)
		\end{align*}
	
		Beispiel: $(\lambda f.f\;u)\; const \rightarrow_\beta const\;u \rightarrow_\delta (\lambda x\;y.x)\;u \rightarrow_\beta \lambda y.u$
	\end{block}
\end{frame}

\begin{frame}[t]{Aufgabe 2.2}{\foreignlanguage{english}{We Are Not Anonymous (Functions)}}

	Tatsächlich ist es in den angegebenen Programmiersprachen praktischerweise auch möglich, 
	Funktionsargumente auf der linken Seite einer Funktionsdefinition anzugeben. 
	Die obigen Definitionen würden dann beispielsweise wie folgt geschrieben werden:
	\begin{alignat*}{2}
		&flip\;f &&= \lambda x\;y. f\;y\;x\\
		&const\;x\;y &&= x\\
		&twice\;f\;x &&= f\;(f\;x)
	\end{alignat*}

	Die mit diesen Definitionen verbundenen Reduktionsregeln sind nun nicht mehr offensichtlich; 
	deshalb verwenden wir Großbuchstaben $F, X, Y$, um Variablen, die in einem Term vorkommen, 
	von Variablen, die durch eine Abstraktion gebunden werden können, zu unterscheiden. 
	Außerdem verwenden wir zur Verdeutlichung explizite Klammerung:
	\begin{alignat*}{2}
		&flip\;F &&\rightarrow_\delta (\lambda x\;y.f\;y\;x)[F/x]\\
		&(const\;X)\;Y &&\rightarrow_\delta x[X/x, Y/y]\\
		&(twice\;F)\;X &&\rightarrow_\delta (f\;(f\;x))[X/x, F/f]
	\end{alignat*}
\end{frame}

\begin{frame}[t]{Aufgabe 2.2}{\foreignlanguage{english}{We Are Not Anonymous (Functions)}}
	Entscheiden Sie, welche der folgenden $\lambda$-Terme bezüglich dieser neuen Definitionen $\beta\delta$-Normalformen sind:
	\begin{itemize}
		\item[(a)] $\lambda x.flip\;x$
		\item[(b)] $\lambda x.const\;x$
		\item[(c)] $const\;flip\;twice$
	\end{itemize}
	\vfill 
	\begin{block}{Neue $\delta$-Reduktion}
		\begin{alignat*}{2}
			&flip\;F &&\rightarrow_\delta (\lambda x\;y.f\;y\;x)[F/x]\\
			&(const\;X)\;Y &&\rightarrow_\delta x[X/x, Y/y]\\
			&(twice\;F)\;X &&\rightarrow_\delta (f\;(f\;x))[X/x, F/f]
		\end{alignat*}
	\end{block}
\end{frame}

\begin{frame}[t]{Aufgabe 3}{Church-Numerale}

Funktionale Sprachen fügen weiterhin \textit{eingebaute} Typen (\foreignlanguage{english}{\textit{built-in types}}) zum $\lambda$-Kalkül hinzu und erlauben auch die Definition von benutzerdefinierten Typen (\textit{\texten{user-defined types}}).
Diese Typen können jedoch prinzipiell allesamt unter Einsatz der sogenannten \textit{Church-Kodierung} direkt als $\lambda$-Terme kodiert werden.
\\\;\\
Eine natürliche Zahl $n$ wird durch einen $\lambda$-Term $\ceil{n}$ kodiert, der eine gegebene Funktion $f$ wiederholt $n$-mal auf einen Startwert $a$ anwendet, was wir informell als $n$ „Iterationen“ von $f$ startend bei $a$ ansehen können:
\begin{equation*}\ceil{n} := \lambda f\;a.\underbrace{f(f(f(\ldots f}_n\; a)))\tag{1}\end{equation*}

Wir kodieren dies einheitlich wie folgt:

\noindent
\begin{minipage}{0.45\textwidth}
	\begin{align*}
		&zero = \lambda f\;a.a\\
		&succ\;n = \lambda f\;a.f\;(n\;f\;a)
	\end{align*}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.45\textwidth}
	\begin{alignat*}{2}
		&one &&= succ\;zero\\
		&two &&= succ\;one\\
		&three &&= succ\;two\\
		&four &&= succ\;three
	\end{alignat*}
\end{minipage}
\end{frame}
\section{Aufgabe 3 - Church-Numerale}
\begin{frame}[t]{Aufgabe 3.1}{Church-Numerale}
	Zeigen Sie, dass für jede natürliche Zahl $n$ gilt: $succ\; \ceil{n} \betadeltared \ceil{n + 1}$

	\vfill
	\churchnumerals
\end{frame}

\begin{frame}[t]{Aufgabe 3.2}{Church-Numerale}
	Definieren Sie die Addition und Multiplikation natürlicher Zahlen bezüglich dieser Kodierung. Vervollständigen Sie also die folgenden Definitionen:
	$$add \;n \;m = \ldots \quad\quad\quad\quad\quad mult\; n\; m = \ldots$$
	derart, dass für alle $x$ und $y$ gilt:
	$$add\;\ceil{x}\;\ceil{y} \betadeltared \ceil{x + y}\quad\quad\quad\quad\quad mult\;\ceil{x}\;\ceil{y} \betadeltared \ceil{x \cdot y}$$
	\vfill
	\churchnumerals
\end{frame}

% input exmple sections
%\input{sections/01_Intro_Landscape}
\end{document}