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TeX
Executable file
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TeX
Executable file
% ..............................................................................
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% Demo of the fau-beamer template.
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% Copyright 2022 by Tim Roith <tim.roith@fau.de>
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% This program can be redistributed and/or modified under the terms
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% of the GNU Public License, version 2.
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% ------------------------------------------------------------------------------
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\documentclass[final]{beamer}
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% ========================================================================================
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% Theme: inner, outer, font and colors
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% ----------------------------------------------------------------------------------------
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\usepackage[institute=Tech,
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%SecondLogo = template-art/FAUWortmarkeBlau.pdf,
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%ThirdLogo = template-art/FAUWortmarkeBlau.pdf,
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%WordMark=None,
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aspectratio=169,
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fontsize=11,
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fontbaselineskip=13,
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scale=1.
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]{styles/beamerthemefau}
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% ----------------------------------------------------------------------------------------
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% Input and output encoding
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\usepackage[T1]{fontenc}
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\usepackage[utf8]{inputenc}
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% ----------------------------------------------------------------------------------------
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% Language settings
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\usepackage[german]{babel}
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% ========================================================================================
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% Fonts
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% - Helvet is loaded by styles/beamerfonts
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% - We use serif for math environements
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% - isomath is used for upGreek letters
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% ----------------------------------------------------------------------------------------
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\usepackage{isomath}
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%\usefonttheme[onlymath]{serif}
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\usepackage{exscale}
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\usepackage{anyfontsize}
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\setbeamercolor{alerted text}{fg=BaseColor}
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% ----------------------------------------------------------------------------------------
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% custom commands for symbols
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\usepackage{styles/symbols}
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\usepackage{tikz-cd}
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\usetikzlibrary{cd, babel}
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% ========================================================================================
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% Setup for Titlepage
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% ----------------------------------------------------------------------------------------
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\title[fau-beamer]{Theorie der Programmierung}
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\subtitle{\texorpdfstring{Übung 07 - Der einfach getypte $\lambda$-Kalkül}{Übung 05 - Der einfach getypte Lambda-Kalkül}}
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\author[L. Vatthauer]{
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Leon Vatthauer}
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% Instead of \institute you can also use the \thanks command
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% ------------------------------------------------
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%\author[T. Roith]{
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%Tim Roith\thanks{Friedrich-Alexander Universität Erlangen-Nürnberg, Department Mathematik}\and%
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%Second Author\thanks{Second Insitute}\and%
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%Third Author\thanks{Third Insitute}%
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%}
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\date{\today}
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% ================================================
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% Bibliography
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% ------------------------------------------------
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\usepackage{csquotes}
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\usepackage[style=alphabetic, %alternatively: numeric, numeric-comp, and other from biblatex
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defernumbers=true,
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useprefix=true,%
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giveninits=true,%
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hyperref=true,%
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autocite=inline,%
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maxcitenames=5,%
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maxbibnames=20,%
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uniquename=init,%
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sortcites=true,% sort citations when multiple entries are passed to one cite command
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doi=true,%
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isbn=false,%
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url=false,%
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eprint=false,%
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backend=biber%
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]{biblatex}
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\addbibresource{bibliography.bib}
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\setbeamertemplate{bibliography item}[text]
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\babeltags{en=english}
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% ================================================
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% Hyperref and setup
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% ------------------------------------------------
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\usepackage{hyperref}
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\hypersetup{
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colorlinks = true,
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final=true,
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plainpages=false,
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pdfstartview=FitV,
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pdftoolbar=true,
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pdfmenubar=true,
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pdfencoding=auto,
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|
psdextra,
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bookmarksopen=true,
|
|
bookmarksnumbered=true,
|
|
breaklinks=true,
|
|
linktocpage=true,
|
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urlcolor=BaseColor,
|
|
citecolor=BaseColor,
|
|
linkcolor=BaseColor,
|
|
unicode = true
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}
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% ================================================
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% Additional packages
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% ------------------------------------------------
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\usepackage{listings}
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\usepackage{lstautogobble} % Fix relative indenting
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\usepackage{color} % Code coloring
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\usepackage{zi4} % Nice font
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\definecolor{bluekeywords}{rgb}{0.13, 0.13, 1}
|
|
\definecolor{greencomments}{rgb}{0, 0.5, 0}
|
|
\definecolor{redstrings}{rgb}{0.9, 0, 0}
|
|
\definecolor{graynumbers}{rgb}{0.5, 0.5, 0.5}
|
|
\lstset{
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|
%autogobble,
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|
columns=fullflexible,
|
|
showspaces=false,
|
|
showtabs=false,
|
|
breaklines=true,
|
|
showstringspaces=false,
|
|
breakatwhitespace=true,
|
|
escapeinside={(*@}{@*)},
|
|
commentstyle=\color{greencomments},
|
|
keywordstyle=\color{bluekeywords},
|
|
stringstyle=\color{redstrings},
|
|
numberstyle=\color{graynumbers},
|
|
basicstyle=\ttfamily\normalsize,
|
|
mathescape=true,
|
|
%frame=l,
|
|
framesep=12pt,
|
|
xleftmargin=.1\textwidth,%12pt,
|
|
tabsize=4,
|
|
captionpos=b
|
|
}
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|
\usepackage{mathpartir}
|
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\usepackage{enumerate}
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|
% end of listings setup
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% ================================================
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|
% Various custom commands
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% ------------------------------------------------
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%\setbeameroption{show notes on second screen}
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\begingroup\expandafter\expandafter\expandafter\endgroup
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\expandafter\ifx\csname pdfsuppresswarningpagegroup\endcsname\relax
|
|
\else
|
|
\pdfsuppresswarningpagegroup=1\relax
|
|
\fi
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|
% Change color for cite locally
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\newcommand{\colorcite}[3]{{\hypersetup{citecolor=#1}{\cite[#2]{#3}}}}
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% ------------------------------------------------
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% ================================================
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% The main document
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% ------------------------------------------------
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\begin{document}
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% Title page
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\begin{frame}[t, titleimage]{-}
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|
\titlepage%
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\end{frame}
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\newcommand{\isaeq}{=_\alpha^?}
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\newcommand{\isbr}{\rightarrow_\beta^?}
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\newcommand{\betared}{\rightarrow_\beta}
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\newcommand{\alphaeq}{=_\alpha}
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\newcommand{\deltared}{\rightarrow_\delta}
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|
\newcommand{\etared}{\rightarrow_\eta}
|
|
\newcommand{\betadeltared}{\rightarrow_{\beta\delta}^*}
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\newcommand{\ceil}[1]{\lceil {#1} \rceil}
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|
\newcommand{\definitionAlphaEq}{
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\begin{block}{$\alpha$-Äquivalenz}
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|
Zwei Terme $t_1, t_2$ heißen $\alpha$-Äquivalent, wenn sie durch Umbenennung gebundener Variablen auseinander hervorgehen. Formal:
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$$\lambda x.t \alphaeq \lambda y.t[y / x]\quad\text{wenn } y \not\in FV(t)$$
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|
\end{block}
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}
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|
\newcommand{\definitionBetaReduction}{
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|
\begin{block}{$\beta$-Reduktion}
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Die $\beta$-Reduktion modelliert das Ausrechnen einer Funktionsanwendung, z.B: $(\lambda x.3 + x)\; 5 \betared 3 + 5$
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|
Die Einschrittreduktion $\betared$ ist:
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$$C((\lambda x.t)\;s) \rightarrow_\beta C(t[s / x])$$
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|
\end{block}
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|
}
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\newcommand{\churchnumerals}{
|
|
\begin{block}{Church-Numerale}
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\begin{equation*}\ceil{n} := \lambda f\;a.\underbrace{f(f(f(\ldots f}_n\; a)))\tag{1}\end{equation*}
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|
\noindent
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|
\begin{minipage}{0.45\textwidth}
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|
\begin{align*}
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|
&zero = \lambda f\;a.a\\
|
|
&succ\;n = \lambda f\;a.f\;(n\;f\;a)
|
|
\end{align*}
|
|
\end{minipage}
|
|
\begin{minipage}{0.45\textwidth}
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|
\begin{alignat*}{2}
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|
&one &&= succ\;zero\\
|
|
&two &&= succ\;one\\
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|
&three &&= succ\;two\\
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|
&four &&= succ\;three
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|
\end{alignat*}
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|
\end{minipage}
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|
\end{block}
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|
}
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|
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|
\newcommand{\typing}{
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|
\begin{block}{Typisierung}
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Wir lesen $\Gamma \vdash t : \alpha$ als „im Kontext $\Gamma$ hat der Term $t$ den Typ $\alpha$“ und definieren diese Relation wie folgt:
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\[
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\begin{array}{c c}
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|
\infer* [left=\text{(Ax)}, right=\text{($x : \alpha \in \Gamma$)}]{\;} {\Gamma \vdash x : \alpha} & \infer* [left=\text{($\rightarrow_i$)}] {\Gamma[x\mapsto \alpha] \vdash t : \beta} {\Gamma \vdash \lambda x.t : \alpha \rightarrow \beta}\\
|
|
\\
|
|
\multicolumn{2}{c}{
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|
\infer* [left=\text{($\rightarrow_e$)}] {\Gamma \vdash t : \alpha \rightarrow \beta \\ \Gamma \vdash s : \alpha} {\Gamma \vdash t\;s : \beta}
|
|
}
|
|
\end{array}
|
|
\]
|
|
\end{block}
|
|
}
|
|
\newcommand{\inversionlemma}{
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\begin{block}{Inversionslemma}
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|
\begin{enumerate}
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|
\item Wenn $\Gamma \vdash x : \alpha$, dann $x : \alpha \in \Gamma$
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|
\item Wenn $\Gamma \vdash t\;s : \beta$, dann existiert $\alpha$ mit $\Gamma \vdash t : \alpha \rightarrow \beta$ und $\Gamma \vdash s : \alpha$
|
|
\item Wenn $\Gamma \vdash \lambda x.t : \gamma$, dann hat $\gamma$ die Form $\gamma = \alpha \rightarrow \beta$ und $\Gamma[x \mapsto \alpha] \vdash t : \beta$
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|
\end{enumerate}
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\end{block}
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|
}
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\newcommand{\algorithmw}{
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\begin{block}{Algorithmus W nach Hindley/Milner}
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Wir definieren rekursiv eine Menge $PT(\Gamma;t;\alpha)$ von Typgleichungen, so dass der mgu $\sigma = \mathbf{mgu}(PT(\Gamma;t;\alpha))$ die allgemeinste Lösung von $\Gamma \vdash t : \alpha$ liefert (wenn eine Lösung existiert).
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|
\begin{enumerate}
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|
\item $PT(\Gamma;\;x;\;\alpha) = \{\alpha \unif \beta \;\vert\; x : \beta \in \Gamma\}$
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|
\item $PT(\Gamma;\;\lambda x.t;\; \alpha) = PT ((\Gamma[x \mapsto a]);\;t;\;b) \cup \{a \rightarrow b \unif \alpha\}$, mit $a, b$ frisch
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|
\item $PT(\Gamma;\;t\;s;\;\alpha) = PT(\Gamma;\;t;\;a \rightarrow \alpha) \cup PT(\Gamma;\;s;\;a)$, mit $a$ frisch
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|
\end{enumerate}
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|
\end{block}
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|
}
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\newcommand{\unif}{\overset{.}{=}}
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\AtBeginSection{}
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% Introduction
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\section{Der einfach getypte Lambda-Kalkül}
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\begin{frame}[t, fragile]{Der einfach getypte $\lambda$-Kalkül $(\lambda\rightarrow)$}{Definitionen}
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\begin{block}{Typen}
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Sei $\mathbf{V}$ eine Menge von \textit{Typvariablen} $a,b, $ etc. und $\mathbf{B}$ eine Menge von Basistypen, etwa $\mathbf{Bool, Int}$. Die Grammatik für Typen $\alpha, \beta, \ldots$ ist dann
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|
$$\alpha, \beta ::= a\;\vert\;\mathbf{b}\;\vert\;\alpha\rightarrow\beta \qquad (\mathbf{b}\in \mathbf{B}, a \in \mathbf{V})$$
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\end{block}
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\begin{block}{Notation}
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Im Gegensatz zur Applikation von $\lambda$-Termen, welche links-assoziativ ist (also $add\;5\;3 = (add\;5)\;3$),
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ist der Funktionspfeil rechts-assoziativ, also $\alpha \rightarrow \beta \rightarrow \gamma = \alpha \rightarrow (\beta \rightarrow \gamma)$
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|
\end{block}
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|
\begin{block}{Kontext}
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|
Ein \textit{(Typ-)Kontext} ist eine Menge
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|
$$\Gamma = \{x_1 : \alpha_1;\ldots ; x_n : \alpha_n\}$$
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|
\end{block}
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|
\end{frame}
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|
\begin{frame}[t, fragile]{Der einfach getypte $\lambda$-Kalkül $(\lambda\rightarrow)$}{Definitionen}
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\typing
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\inversionlemma
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\end{frame}
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\section{Aufgabe 1 - Typprüfung einfach getypter Terme}
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\begin{frame}[t, fragile]{Aufgabe 1}{Typprüfung einfach getypter Terme}
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Zeigen Sie, dass die folgenden Aussagen zutreffen, indem Sie jeweils eine korrekte Typherleitung angeben.
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\begin{enumerate}
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\item $ x : \texttt{int}, add : \texttt{int} \rightarrow \texttt{int} \rightarrow \texttt{int} \vdash \lambda y.add\;x\;(add\;x\;y) : \texttt{int} \rightarrow \texttt{int}$
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|
\item $\vdash \lambda xy.x : \alpha \rightarrow \beta \rightarrow \alpha$, für alle Typen $\alpha, \beta$
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|
\end{enumerate}
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|
\vfill
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|
\typing
|
|
\end{frame}
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|
\section{Prinzipaltyp}
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\begin{frame}[t, fragile]{Algorithmus W nach Hindley/Milner}
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\begin{block}{Prinzipaltyp}
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Es sei $t$ ein $\lambda$-Term und $\Gamma$ ein Kontext; wir sagen, dass $\alpha$ der \textit{Prinzipaltyp} (engl. \textit{principal type}) von $t$ ist,
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|
wenn
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\begin{enumerate}
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\item $\Gamma \vdash t : \alpha$
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|
\item $\alpha$ allgemeiner ist als jeder Typ $\beta$ mit $\Gamma \vdash t : \beta$
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|
\end{enumerate}
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|
d.h. wenn jedes solche $\beta$ sich durch Substitution von Typvariablen aus $\alpha$ erzeugen lässt. Beispielsweise ist $a \rightarrow b \rightarrow a$ (für Typvariablen $a$ und $b$) der Prinzipaltyp von $\lambda xy.x$.
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\end{block}
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\algorithmw
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\end{frame}
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\section{Aufgabe 2 - Inferenz von Prinzipaltypen}
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\begin{frame}[t, fragile]{Aufgabe 2}{Inferenz von Prinzipaltypen}
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Leiten Sie den Prinzipaltyp der folgenden $\lambda$-Terme in dem jeweils gegebenen Kontext her
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\begin{enumerate}
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\item $\Gamma = \emptyset, t = \lambda x y z.x\;(y\;z)$
|
|
\item $\Gamma = \{add : \texttt{int} \rightarrow \texttt{int} \rightarrow \texttt{int}, length : \texttt{string} \rightarrow \texttt{int}\}, t = \lambda x. add\;(length\; x)$
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|
\end{enumerate}
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|
|
|
\vfill
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|
\algorithmw
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|
\end{frame}
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\section{Aufgabe 3 - Type Inhabitation und untypisierbare Terme}
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\begin{frame}[t, fragile]{Aufgabe 3.1}{Type Inhabitation und untypisierbare Terme}
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Das zur Typinferenz symmetrische Problem ist das Problem der \foreignlanguage{english}{\textit{type inhabitation}},
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d.h. das Problem, einen $\lambda$-Term eines gegebenen Typs zu finden, falls ein solcher Term existiert.
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\\Im Folgenden bezeichnen $p$, $q$ und $r$ Typvariablen.
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\\\;\\
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Finden Sie für jeden der folgenden Typen $\alpha$ einen $\lambda$-Term $s$, sodass $\vdash s : \alpha$.
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\begin{enumerate}[(a)]
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\item $p \rightarrow p$
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\item $p \rightarrow (q \rightarrow p)$
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\item $(p \rightarrow (q \rightarrow r)) \rightarrow (p \rightarrow q) \rightarrow p \rightarrow r$
|
|
\item $((p \rightarrow q) \rightarrow r) \rightarrow q \rightarrow r$
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{frame}
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\begin{frame}[t, fragile]{Aufgabe 3.2}{Type Inhabitation und untypisierbare Terme}
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|
Im Gegenzug dazu gibt es auch Terme, denen man keinen Typ zuordnen kann.
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Verwenden Sie das Inversionslemma aus der Vorlesung, um zu zeigen, dass:
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\begin{enumerate}[(a)]
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\item $\not\vdash \lambda x.x\;x : \alpha$, für jeden Typ $\alpha$.
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|
\item $y : \texttt{char} \not\vdash \lambda x.y\;x : \alpha$, für jeden Typ $\alpha$.
|
|
\end{enumerate}
|
|
\vfill
|
|
\inversionlemma
|
|
\end{frame}
|
|
% input exmple sections
|
|
%\input{sections/01_Intro_Landscape}
|
|
\end{document} |