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\chapter{Topologische Räume}\label{chp:topologies}
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\section{Topologien}
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\begin{definition}[Topologie]
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Sei $X$ eine Menge. Eine \emph{Topologie} auf $X$ ist eine Teilmenge $\CO \subseteq \CP(X)$ mit folgenden Axiomen:
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\begin{enumerate}
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\item $\emptyset, X \in \CO$.
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\item Vereinigungen von Mengen in $\CO$ sind in $\CO$ enthalten.
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\item Endliche Schnitte von Mengen in $\CO$ sind in $\CO$ enthalten.
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\end{enumerate}
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Die Mengen $O \in \CO$ heißen \emph{offen} und die Mengen $A \in X \setminus \CO$ heißen \emph{abgeschlossen}.
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\end{definition}
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\begin{lemma}
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Topologien lassen sich auch durch abgeschlossene Mengen charakterisieren, wir erhalten folgenden Definition:
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Eine Topologie auf $X$ ist eine Teilmenge $\CO \subseteq \CP(X)$, sodass folgende Axiome gelten:
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\begin{enumerate}
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\item $\emptyset$ und $X$ sind abgeschlossen.
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\item Schnitte von abgeschlossenen Mengen sind abgeschlossen.
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\item Endliche Vereinigungen von abgeschlossenen Mengen sind abgeschlossen.
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\end{enumerate}
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\end{lemma}
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\subsection{Die Diskrete und die Indiskrete Topologie}
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\begin{example}\label{ex:discrete_top}
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Für jede Menge $X$ nennen wir $\CO_{dsk} := \CP(X)$ die \emph{diskrete Topologie} auf $X$.
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Jede Teilmenge von $X$ ist offen und abgeschlossen bzgl.\ dieser Topologie.
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\end{example}
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\begin{example}
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Für jede Menge $X$ nennen wir $\CO_{in} := \{\emptyset, X\}$ die \emph{indiskrete Topologie} auf $X$.
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\end{example}
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\subsection{Die Kofinite und die Koabzählbare Topologie}
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\begin{example}
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Für jede Menge $X$ ist $\CO_{kof} := \{O \subseteq X \;\vert\; X \setminus O \text{ endlich, oder } O = \emptyset\}$ die \emph{kofinite Topologie} auf $X$.
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\end{example}
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\begin{example}
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Für jede Menge $X$ ist $\CO_{koab} := \{O \subseteq X \;\vert\; X \setminus O \text{ abzählbar, oder } O = \emptyset\}$ die \emph{Koabzählbare Topologie} auf $X$.
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\end{example}
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\subsection{Die Leere und die Einpunkttopologie}
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\begin{example}
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Auf der leeren Menge $\emptyset$ gibt es genau eine Topologie, nämlich $\CO_\emptyset := \{\emptyset\}$, die \emph{leere Topologie}.
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\end{example}
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\begin{example}
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Auf einer einelementigen Menge $\{x\}$ gibt es ebenfalls genau eine Topologie, nämlich $\CO_{\{x\}} := \{\emptyset, \{x\}\} = \CO_{dsk} = \CO_{in}$, der \emph{Einpunktraum}.
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\end{example}
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\subsection{Die Teilraumtopologie}
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\begin{example}
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Sei $(X, \CO_X)$ ein topologischer Raum und $M \subseteq X$ eine Teilmenge.
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Dann erhalten wir eine Topologie auf $M$:
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\[\CO_{M\subseteq X} := \CO_X \cap M = \{O \cap M \;\vert\; O \in \CO_X\}\]
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die \emph{Teilraumtopologie}.
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Offene (abgeschlossene) Mengen in $\CO_{M\subseteq X}$ sind Schnitte offener (abgeschlossener) Mengen in $X$ mit $M$.
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\end{example}
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\begin{lemma}
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\begin{enumerate}
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\item Ist $M \subseteq X$ offen, so sind alle Teilmengen $A \subseteq M$ die offen bezüglich $\CO_{M\subseteq X}$ sind, auch offen bezüglich $\CO_X$.
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\item Ist $M \subseteq X$ abgeschlossen, so sind alle Teilmengen $A \subseteq M$ die abgeschlossen bezüglich $\CO_{M\subseteq X}$ sind, auch abgeschlossen bezüglich $\CO_X$.
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\end{enumerate}
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\end{lemma}
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% TODO Praesenzblatt 1 A2c
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\subsection{Die Metrische Topologie}
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\begin{definition}[Metrischer Raum]
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Ein \emph{metrischer Raum} ist ein Paar $(X,d)$ aus einer Menge $X$ und einer \emph{Metrik} $d : X \times X \to \mathbb{R}$, sodass:
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\begin{enumerate}
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\item \emph{Positivität}: $d(x,y) \geq 0$ und $d(x,y) = 0 \iff x = y$.
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\item \emph{Symmetrie}: $d(x,y) = d(y,x)$.
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\item \emph{Dreiecksungleichung}: $d(x,y) \leq d(x,y) + d(y,z)$.
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\end{enumerate}
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\end{definition}
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\begin{definition}[Metrische Topologie]
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Sei $(X,d)$ ein metrischer Raum.
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\begin{enumerate}
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\item Für $x \in X$ und $r > 0$ definieren wir die \emph{offene} und die \emph{abgeschlossene} Kugel um $x$:
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\[B_r(x) = \{y \in X \;\vert\; d(x,y) < r\} \qquad B_{\leq r}(x) = \{y \in X \;\vert\; d(x,y) \leq r\}\]
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\item Die \emph{metrische Topologie} auf $X$ ist definiert durch:
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\[\CO_d := \{O \subseteq X \;\vert\; \forall x \in O. \exists \epsilon > 0. B_\epsilon(x) \subseteq O\}.\]
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\end{enumerate}
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\end{definition}
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\begin{theorem}
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Sei $(X,d)$ ein metrischer Raum, dann gilt:
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\begin{enumerate}
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\item Die metrische Topologie ist eine Topologie auf $X$.
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\item Jedes $B_\epsilon(x)$ ist offen.
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\item Jedes $B_{\leq \epsilon}(x)$ ist abgeschlossen.
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\end{enumerate}
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\end{theorem}
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\begin{example}[Diskrete Metrik]
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Die \emph{diskrete Metrik} auf $X$ ist definiert durch
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\[d : X \times X \to \mathbb{R}, \qquad d(x,y) = \begin{cases}
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0 & x = y \\
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1 & x \not= y
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\end{cases}\]
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Die davon induzierte Topologie ist die diskrete Topologie (\autoref{ex:discrete_top}).
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\end{example}
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\begin{example}[Standardtopologie]
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Jeder normierte Vektorraum $(V, \norm{-})$ über $\mathbb{R}$ ist ein metrischer Raum mit der Metrik
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\[d : V \times V \to \mathbb{R}, \qquad d(x,y) = \norm{x-y}.\]
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Insbesondere ist der $\mathbb{R}^n$ ein metrischer Raum mit der durch die \emph{$p$-Norm}
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\[\norm{x}_p = {(\Sigma_{i=1}^n \vert x_i \vert^p)}^{\frac{1}{p}}\]
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induzierten Metrik.
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Für $p=2$ erhält man so die \emph{euklidische Metrik} auf dem $\mathbb{R}^n$, die zugehörige Topologie nennt man die \emph{Standardtopologie} $\CO_{std}$ auf $\mathbb{R}^n$.
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\end{example}
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\begin{lemma}
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Sei $(X,d)$ ein metrischer Raum.
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Für jede Teilmenge $M \subseteq X$ mit der Metrik $d\vert_{M \times M}$ stimmt die metrische Topologie mit der Teilraumtopologie überein.
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Insbesondere erhält man so die \emph{Standardtopologie} auf Teilmengen $M \subseteq \mathbb{R}^n$.
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\end{lemma}
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\begin{theorem}
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Zwei Metriken $d_1, d_2$ auf einer Menge $X$ induzieren genau dann die gleiche Topologie auf $X$, wenn es zu jedem $x \in X$ und jedem $\epsilon > 0$ ein $\delta > 0$ gibt mit
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\[d_1(x,y) < \delta \Rightarrow d_2(x,y) < \epsilon \qquad \land \qquad d_2(x,y) < \delta \Rightarrow d_1(x,y) < \epsilon.\]
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In diesem Fall nennen wir die Metriken \emph{äquivalent}.
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\end{theorem}
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\subsection{Umgebungen}
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\begin{definition}[Umgebung]
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Sei $(X, \CO)$ ein topologischer Raum.
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Eine Menge $U \subseteq X$ heißt \emph{Umgebung} eines Punktes $x \in X$, wenn eine offene Menge $O \in \CO$ existiert mit $x \in O \subseteq U$.
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Die Menge der Umgebungen von $x \in X$ nennen wir $\CU(x)$.
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\end{definition}
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\begin{remark}
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Für jeden topologischen Raum $(X, \CO)$ und $x \in X$ gilt:
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\begin{enumerate}
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\item Ist $U \in \CU(x)$ so ist auch jedes $V \subseteq U$ eine Umgebung von $x$.
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\item Für jede offene Menge $O \in \CO$ gilt $x \in O \Rightarrow O \in \CU(x)$.
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\item Jede Umgebung von $x$ enthält eine offene Umgebung von $x$.
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\item Vereinigungen von Umgebungen von $x$ sind Umgebungen von $x$.
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\item Endliche Schnitte von Umgebungen von $x$ sind Umgebungen von $x$.
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\item Eine Teilmenge $O \subseteq X$ ist genau dann offen, wenn sie Umgebung aller ihrer Punkte ist.
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\end{enumerate}
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\end{remark}
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\subsection{Inneres, Abschluss und Rand}
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\begin{definition}[Inneres, Abschluss, Rand]
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Sei $(X, \CO)$ ein topologischer Raum.
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\begin{itemize}
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\item Das \emph{Innere} $\inter{M}$ einer Teilmenge $M \subseteq X$ ist:
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\[\inter{M} = \bigcup_{O\in \CO,O\subseteq M} O.\]
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\item Der \emph{Abschluss} $\clos{M}$ einer Teilmenge $M \subseteq X$ ist:
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\[\clos{M} = \bigcap_{A \subseteq X \text{ abg.}, M\subseteq A} A.\]
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\item Der \emph{Rand} $\bound{M}$ einer Teilmenge $M \subseteq X$ ist:
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\[\bound{M} = \clos{M} \setminus \inter{M}.\]
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\end{itemize}
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Eine Teilmenge $M \subseteq X$ heißt \emph{dicht} in $X$, wenn $\clos{M} = X$ und \emph{nirgend dicht} in $X$, wenn $\inter{\clos{M}} = \emptyset$.
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\end{definition}
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\begin{lemma}
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Es gelten folgende Rechenregeln:
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\[\inter{M} = X \setminus \clos{X \setminus M}\]
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und
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\[\bound{M} = \clos{M} \cap \clos{X \setminus M} = \bound{X \setminus M}.\]
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\end{lemma}
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\begin{theorem}
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Sei $(X, \CO)$ ein topologischer Raum und $M \subseteq X$ eine Teilmenge. Dann gilt:
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\begin{enumerate}
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\item $\inter{M}$ ist offen, $\inter{M} \subseteq M$ und $\inter{M} = M$ genau dann, wenn $M$ offen ist.
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\item $\clos{M}$ ist abgeschlossen, $M \subseteq \clos{M}$ und $\clos{M} = M$ genau dann, wenn $M$ abgeschlossen ist.
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\item $\bound{M}$ ist abgeschlossen, $\bound{\bound{M}} \subseteq \bound{M}$ und $\bound{\bound{\bound{M}}} = \bound{\bound{M}}$
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\end{enumerate}
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\end{theorem}
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\begin{theorem}
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Sei $(X, \CO)$ ein topologischer Raum und $M \subseteq X$. Es gilt:
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\begin{enumerate}
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\item $x \in \inter{M} \iff$ Es gibt eine Umgebung $U \in \CU(x)$ mit $U \subseteq M$. $\iff M$ ist eine Umgebung von $x$.
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\item $x \in \clos{M} \iff$ Für jede Umgebung $U \in \CU(x)$ ist $U \cap M \not= \emptyset$. $\iff X \setminus M$ ist keine Umgebung von $x$.
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\item $x \in \bound{M} \iff$ Für alle $U \in \CU(x)$ gilt $U \cap M \not= \emptyset$ und $U \cap (X \setminus M) \not= \emptyset$.
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\end{enumerate}
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\end{theorem}
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\section{Vergleich und Erzeugung von Topologien}
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\subsection{Vergleich von Topologien}
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\begin{definition}[Fein- und Grobheit]
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Sei $X$ eine Menge mit Topologien $\CO_1, \CO_2$. Wenn $\CO_2 \subseteq \CO_1$ gilt nennen wir
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\begin{itemize}
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\item $\CO_1$ \emph{feiner} als $\CO_2$
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\item $\CO_2$ \emph{gröber} als $\CO_1$
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\end{itemize}
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\end{definition}
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\begin{example}[Feinste Topologie]
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Die diskrete Topologie $\CO_{dsk} = \CP(X)$ ist die \emph{feinste} Topologie auf $X$.
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\end{example}
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\begin{example}[Gröbste Topologie]
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Die indiskrete Topologie $\CO_{ind} = \{\emptyset, X\}$ ist die \emph{gröbste} Topologie auf $X$.
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\end{example}
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\begin{example}[Kofinite und Standardtopologie]
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Die kofinite Topologie $\CO_{kof}$ auf einer Teilmenge $X \subseteq \mathbb{R}^n$ ist gröber als die Standardtopologie $\CO_{std}$.
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\end{example}
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\begin{theorem}
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Schnitte von Topologien sind wieder Topologien.
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Der Schnitt von Topologien $\CO_i$ ist gröber als jedes $\CO_i$.
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\end{theorem}
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\subsection{(Sub-) Basen}
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\begin{definition}[Erzeugte Topologie]
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Für jede Teilmenge $\CM \subseteq \CP(X)$ ist die von $\CM$ \emph{erzeugte Topologie} definiert als
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\[\langle \CM \rangle = \bigcap_{\CM \subseteq \CO \subseteq \CP(X), \CO \text{ Topologie}}\CO.\]
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\end{definition}
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\begin{theorem}
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$\langle \CM \rangle$ ist eine Topologie auf $X$ und zwar die gröbste Topologie die $CM$ enthält.
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\end{theorem}
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\begin{lemma}
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Für jede Menge $X$ und $\CM \subset \CP(X)$ lässt sich $\langle \CM \rangle$ auch charakterisieren als
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\[\langle \CM \rangle = \{\text{beliebige Vereinigungen von endlichen Schnitten von Mengen in }\CM\}.\]
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\end{lemma}
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\begin{definition}[(Sub-) Basis]
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Sei $(X, \CO)$ ein topologischer Raum. Eine Teilmenge $\CM \subseteq \CP(X)$ heißt
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\begin{enumerate}
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\item \emph{Subbasis} von $\CO$, wenn $\CO = \langle \CM \rangle$ gilt.
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\item \emph{Basis} von $\CO$, wenn $\CM \subseteq \CO$ und jede Menge in $\CO$ eine Vereinigung von Mengen aus $\CM$ ist.
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\end{enumerate}
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Besitzt $\CO$ eine abzählbare Basis, so sagt man $\CO$ erfülle das \emph{2. Abzählbarkeitsaxiom}.
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\end{definition}
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\begin{lemma}
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Eine Teilmenge $\CB \subseteq \CP(X)$ ist Basis einer Topologie auf $X$ genau dann, wenn
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\begin{enumerate}
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\item zu jedem $x \in X$ gibt es ein $B \in \CB$ mit $x \in B$,
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\item für alle $B_1, B_2 \in \CB$ und alle $x \in B_1 \cap B_2$ gibt es ein $B_3 \in \CB$ mit $x \in B_3 \subseteq B_1 \cap B_2$.
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\end{enumerate}
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\end{lemma}
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\begin{example}[Basis der (In-) diskreten Topologie]
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Für jede Menge $X$ ist $\CM = \{ X\}$ eine Basis der indiskreten Topologie und $\CM' = \{\{ x \} \;\vert\; x \in X\}$ eine Basis der diskreten Topologie.
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\end{example}
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\begin{example}[Basis der Standardtopologie]
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Die Menge $\CM = \{(a,b) \subseteq \mathbb{R} \;\vert\; a < b \in \mathbb{R}\}$ ist eine Basis der Standardtopologie auf $\mathbb{R}$.
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Außerdem ist die Menge $\CM = \{(a,b) \subseteq \mathbb{R} \;\vert\; a < b \in \mathbb{Q}\}$ eine Basis der Standradtopologie auf $\mathbb{R}$, somit erfüllt die Standardtopologie das 2. Abzählbarkeitsaxiom.
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\end{example}
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\begin{lemma}[Einbettungssatz von Urysohn]
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Erfüllt ein topologischer Raum $(X, \CO)$ das 2. Abzählbarkeitsaxiom, so gibt es eine abzählbare dichte Teilmenge $M \subseteq X$.
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\end{lemma}
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\section{Stetige Abbildungen}
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