\item Eine \emph{(offene) Überdeckung} von $(X, \CO)$ ist eine Familie $(O_i)_{i \in I}$ von (offenen) Teilmengen $O_i \subseteq X$ mit $X \subseteq\bigcup_{i \in I} O_i$.
Ist $J \subseteq I$ eine Teilmenge, sodass auch $(O_i)_{i \in J}$ eine Überdeckung von $X$ ist, so nennt man $(O_i)_{i \in J}$ eine \emph{Teilüberdeckung} von $(O_i)_{i \in J}$.
\item Der topologische Raum $(X, \CO)$ heißt \emph{kompakt}, wenn jede offene Überdeckung $(O_i)_{i \in I}$ von $X$ eine \emph{endliche Teilüberdeckung} besitzt.
\item Eine Teilmenge $K \subseteq X$ heißt \emph{kompakt}, wenn sie mit der Teilraumtopologie ein kompakter topologischer Raum ist.
\end{enumerate}
\end{definition}
\begin{remark}
Alternativ lässt sich das Konzept der Kompaktheit auch mit abgeschlossenen Mengen formulieren:
Ein topologischer Raum $(X, \CO)$ ist genau dann kompakt, wenn es zu jeder Familie $(A_i)_{i \in I}$ abgeschlossener Teilmengen $A_i \subseteq X$ mit $\bigcap_{i\in I}A_i =\emptyset$ eine endliche Teilmenge $J \subseteq I$ mit $\bigcap_{i\in J}A_i =\emptyset$ gibt.
\end{remark}
\begin{example}
\begin{enumerate}
\item Jede endliche Topologie ergibt einen kompakten Raum.
\item Die diskrete Topologie auf $X$ ergibt einen kompakten Raum genau dann, wenn $X$ endlich ist.
\item Die kofinite Topologie liefert immer einen kompakten Raum.
\item Teilmengen des $\mathbb{R}^n$ mit der Standardtopologie sind nach dem \emph{Satz von Heine-Borel} kompakt genau dann, wenn sie abgeschlossen und beschränkt sind.
\item Quotienten kompakter topologischer Räume sind kompakt.
\item Endliche Summen von kompakten topologischen Räumen sind kompakt.
\end{enumerate}
\end{example}
\begin{lemma}
In jedem topologischen Raum $(X, \CO_X)$ gilt:
\begin{enumerate}
\item Ist $(X, \CO_X)$ hausdorffsch, so sind kompakte Teilmengen $K \subseteq X$ abgeschlossen.
\item Ist $(X, \CO_X)$ kompakt, so sind abgeschlossene Teilmengen $A \subseteq X$ kompakt.
\end{enumerate}
\end{lemma}
\begin{theorem}
Kompakte Hausdorffräume sind normal.
\end{theorem}
\begin{theorem}
Seien $(X, \CO_X)$ und $(Y, \CO_Y)$ topologische Räume.
\begin{enumerate}
\item Ist $f : X \to Y$ stetig und $X$ kompakt, so ist auch das Bild $f(X)\subseteq Y$ kompakt.
\item Ist $X$ kompakt und $Y$ hausdorffsch, so ist jede stetige Abbildung $f : X \to Y$ abgeschlossen. Insbesondere ist jede stetige Bijektion ein Homöomorphismus.
