From c793ab1c508712c1ea98e3fe9e0b1fddf790cce6 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Leon Vatthauer <leon.vatthauer@fau.de>
Date: Tue, 25 Jun 2024 18:45:36 +0200
Subject: [PATCH] kompaktheit

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 \chapter{Kompaktheit}
 \section{Kompaktheit}
 
+\begin{definition}[Kompakter topologischer Raum]
+  Sei $(X, \CO)$ ein topologischer Raum.
+  \begin{enumerate}
+    \item Eine \emph{(offene) Überdeckung} von $(X, \CO)$ ist eine Familie $(O_i)_{i \in I}$ von (offenen) Teilmengen $O_i \subseteq X$ mit $X \subseteq \bigcup_{i \in I} O_i$.
+          Ist $J \subseteq I$ eine Teilmenge, sodass auch $(O_i)_{i \in J}$ eine Überdeckung von $X$ ist, so nennt man $(O_i)_{i \in J}$ eine \emph{Teilüberdeckung} von $(O_i)_{i \in J}$.
+    \item Der topologische Raum $(X, \CO)$ heißt \emph{kompakt}, wenn jede offene Überdeckung $(O_i)_{i \in I}$ von $X$ eine \emph{endliche Teilüberdeckung} besitzt.
+    \item Eine Teilmenge $K \subseteq X$ heißt \emph{kompakt}, wenn sie mit der Teilraumtopologie ein kompakter topologischer Raum ist.
+  \end{enumerate}
+\end{definition}
+
+\begin{remark}
+  Alternativ lässt sich das Konzept der Kompaktheit auch mit abgeschlossenen Mengen formulieren:
+
+  Ein topologischer Raum $(X, \CO)$ ist genau dann kompakt, wenn es zu jeder Familie $(A_i)_{i \in I}$ abgeschlossener Teilmengen $A_i \subseteq X$ mit $\bigcap_{i\in I}A_i = \emptyset$ eine endliche Teilmenge $J \subseteq I$ mit $\bigcap_{i\in J}A_i = \emptyset$ gibt.
+\end{remark}
+
+\begin{example}
+  \begin{enumerate}
+    \item Jede endliche Topologie ergibt einen kompakten Raum.
+    \item Die diskrete Topologie auf $X$ ergibt einen kompakten Raum genau dann, wenn $X$ endlich ist.
+    \item Die kofinite Topologie liefert immer einen kompakten Raum.
+    \item Teilmengen des $\mathbb{R}^n$ mit der Standardtopologie sind nach dem \emph{Satz von Heine-Borel} kompakt genau dann, wenn sie abgeschlossen und beschränkt sind.
+    \item Quotienten kompakter topologischer Räume sind kompakt.
+    \item Endliche Summen von kompakten topologischen Räumen sind kompakt.
+  \end{enumerate}
+\end{example}
+\begin{lemma}
+  In jedem topologischen Raum $(X, \CO_X)$ gilt:
+  \begin{enumerate}
+    \item Ist $(X, \CO_X)$ hausdorffsch, so sind kompakte Teilmengen $K \subseteq X$ abgeschlossen.
+    \item Ist $(X, \CO_X)$ kompakt, so sind abgeschlossene Teilmengen $A \subseteq X$ kompakt.
+  \end{enumerate}
+\end{lemma}
+
+\begin{theorem}
+  Kompakte Hausdorffräume sind normal.
+\end{theorem}
+
+\begin{theorem}
+  Seien $(X, \CO_X)$ und $(Y, \CO_Y)$ topologische Räume.
+  \begin{enumerate}
+    \item Ist $f : X \to Y$ stetig und $X$ kompakt, so ist auch das Bild $f(X) \subseteq Y$ kompakt.
+    \item Ist $X$ kompakt und $Y$ hausdorffsch, so ist jede stetige Abbildung $f : X \to Y$ abgeschlossen. Insbesondere ist jede stetige Bijektion ein Homöomorphismus.
+  \end{enumerate}
+\end{theorem}
+
 \section{Kompaktheit in metrischen Räumen}
 
 \section{Der Satz von Tychonoff}