diff --git a/tex/.vscode/ltex.dictionary.de-DE.txt b/tex/.vscode/ltex.dictionary.de-DE.txt index 3af15eb..863f44d 100644 --- a/tex/.vscode/ltex.dictionary.de-DE.txt +++ b/tex/.vscode/ltex.dictionary.de-DE.txt @@ -1,3 +1,21 @@ Kofinite Koabzählbare kofinite +Initialtopologie +Finaltopologie +Pullback +Pushout +Vatthauer +Koeinschränkung +Folgenstetigkeit +folgenstetig +folgenstetige +Hausdorffraum +Urysohn-Funktion +Inklusionsabbildung +Quotiententopologie +Quotientenräume +Tychonoff +Summentopologie +Inklusionsabbildungen +Produkttopologien diff --git a/tex/.vscode/ltex.hiddenFalsePositives.de-DE.txt b/tex/.vscode/ltex.hiddenFalsePositives.de-DE.txt index 8017067..2cf293e 100644 --- a/tex/.vscode/ltex.hiddenFalsePositives.de-DE.txt +++ b/tex/.vscode/ltex.hiddenFalsePositives.de-DE.txt @@ -1 +1,6 @@ {"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\Q[(T3)] Endliche Schnitte von Mengen in \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q sind in \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q enthalten.\\E$"} +{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\Q[cases] mycase Fall . Fall (): \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q subcases\\E$"} +{"rule":"COMMA_PARENTHESIS_WHITESPACE","sentence":"^\\Q[cases] mycase Fall . Fall (): \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q subcases\\E$"} +{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\Q=1em\\E$"} +{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QDer Abschluss \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q einer Teilmenge \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q ist: \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q abg.\\E$"} +{"rule":"GERMAN_WORD_REPEAT_BEGINNING_RULE","sentence":"^\\QDie kofinite Topologie \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q auf einer Teilmenge \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q ist gröber als die Standardtopologie \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"} diff --git a/tex/main.tex b/tex/main.tex index 6f6580b..b215006 100644 --- a/tex/main.tex +++ b/tex/main.tex @@ -149,5 +149,5 @@ \appendix \emergencystretch=1em -\printbibliography[heading=bibintoc]{} +% \printbibliography[heading=bibintoc]{} \end{document} \ No newline at end of file diff --git a/tex/sections/01_topräume.tex b/tex/sections/01_topräume.tex index 96a78e0..b3e345e 100644 --- a/tex/sections/01_topräume.tex +++ b/tex/sections/01_topräume.tex @@ -1,3 +1,4 @@ +% chktex-file 3 \chapter{Topologische Räume}\label{chp:topologies} \section{Topologien} \begin{definition}[Topologie] @@ -40,16 +41,16 @@ \end{example} \subsection{Die Leere und die Einpunkttopologie} -\begin{example} +\begin{example}\label{ex:leererraum} Auf der leeren Menge $\emptyset$ gibt es genau eine Topologie, nämlich $\CO_\emptyset := \{\emptyset\}$, die \emph{leere Topologie}. \end{example} -\begin{example} +\begin{example}\label{ex:einpunktraum} Auf einer einelementigen Menge $\{x\}$ gibt es ebenfalls genau eine Topologie, nämlich $\CO_{\{x\}} := \{\emptyset, \{x\}\} = \CO_{dsk} = \CO_{in}$, der \emph{Einpunktraum}. \end{example} \subsection{Die Teilraumtopologie} -\begin{example} +\begin{example}\label{ex:teilraumtopologie} Sei $(X, \CO_X)$ ein topologischer Raum und $M \subseteq X$ eine Teilmenge. Dann erhalten wir eine Topologie auf $M$: \[\CO_{M\subseteq X} := \CO_X \cap M = \{O \cap M \;\vert\; O \in \CO_X\}\] @@ -80,7 +81,7 @@ Sei $(X,d)$ ein metrischer Raum. \begin{enumerate} \item Für $x \in X$ und $r > 0$ definieren wir die \emph{offene} und die \emph{abgeschlossene} Kugel um $x$: - \[B_r(x) = \{y \in X \;\vert\; d(x,y) < r\} \qquad B_{\leq r}(x) = \{y \in X \;\vert\; d(x,y) \leq r\}\] + \[B_r(x) = \{y \in X \;\vert\; d(x,y) < r\} \qquad B_{\leq r}(x) = \{y \in X \;\vert\; d(x,y) \leq r\}.\] \item Die \emph{metrische Topologie} auf $X$ ist definiert durch: \[\CO_d := \{O \subseteq X \;\vert\; \forall x \in O. \exists \epsilon > 0. B_\epsilon(x) \subseteq O\}.\] \end{enumerate} @@ -101,6 +102,7 @@ 0 & x = y \\ 1 & x \not= y \end{cases}\] + Die davon induzierte Topologie ist die diskrete Topologie (\autoref{ex:discrete_top}). \end{example} @@ -151,7 +153,7 @@ \item Das \emph{Innere} $\inter{M}$ einer Teilmenge $M \subseteq X$ ist: \[\inter{M} = \bigcup_{O\in \CO,O\subseteq M} O.\] \item Der \emph{Abschluss} $\clos{M}$ einer Teilmenge $M \subseteq X$ ist: - \[\clos{M} = \bigcap_{A \subseteq X \text{ abg.}, M\subseteq A} A.\] + \[\clos{M} = \bigcap_{A \subseteq X \text{ abg. }, M\subseteq A} A.\] \item Der \emph{Rand} $\bound{M}$ einer Teilmenge $M \subseteq X$ ist: \[\bound{M} = \clos{M} \setminus \inter{M}.\] \end{itemize} @@ -177,9 +179,9 @@ \begin{theorem} Sei $(X, \CO)$ ein topologischer Raum und $M \subseteq X$. Es gilt: \begin{enumerate} - \item $x \in \inter{M} \iff$ Es gibt eine Umgebung $U \in \CU(x)$ mit $U \subseteq M$. $\iff M$ ist eine Umgebung von $x$. - \item $x \in \clos{M} \iff$ Für jede Umgebung $U \in \CU(x)$ ist $U \cap M \not= \emptyset$. $\iff X \setminus M$ ist keine Umgebung von $x$. - \item $x \in \bound{M} \iff$ Für alle $U \in \CU(x)$ gilt $U \cap M \not= \emptyset$ und $U \cap (X \setminus M) \not= \emptyset$. + \item $x \in \inter{M} \iff$ es gibt eine Umgebung $U \in \CU(x)$ mit $U \subseteq M$. $\iff M$ ist eine Umgebung von $x$. + \item $x \in \clos{M} \iff$ für jede Umgebung $U \in \CU(x)$ ist $U \cap M \not= \emptyset$. $\iff X \setminus M$ ist keine Umgebung von $x$. + \item $x \in \bound{M} \iff$ für alle $U \in \CU(x)$ gilt $U \cap M \not= \emptyset$ und $U \cap (X \setminus M) \not= \emptyset$. \end{enumerate} \end{theorem} @@ -217,7 +219,7 @@ \end{definition} \begin{theorem} - $\langle \CM \rangle$ ist eine Topologie auf $X$ und zwar die gröbste Topologie die $CM$ enthält. + $\langle \CM \rangle$ ist eine Topologie auf $X$, und zwar die gröbste Topologie die $CM$ enthält. \end{theorem} \begin{lemma} @@ -264,7 +266,7 @@ \begin{corollary} \begin{enumerate} - \item Eine Abbildung $f : X \to Y$ ist äquivalenterweise stetig, wenn das Urbild jeder abgeschlossenen Menge abgeschlossen ist: + \item Äquivalenter weise ist eine Abbildung $f : X \to Y$ stetig, wenn das Urbild jeder abgeschlossenen Menge abgeschlossen ist: \[A \subseteq X \text{ abgeschlossen} \Rightarrow f^{-1}(A) \text{ abgeschlossen}.\] \item Eine Abbildung $f : X \to Y$ ist stetig genau dann, wenn für alle Teilmenge $S \subseteq X$ gilt: \[ f(\clos{S}) \subseteq \clos{f(S)}. \] @@ -272,7 +274,7 @@ \end{corollary} \begin{example} - Beispiele für stetige Funktionen $f : (X, \CO_X) \to (Y, \CO_Y)$ + Beispiele für stetige Funktionen $f : (X, \CO_X) \to (Y, \CO_Y)$: \begin{enumerate} \item Für $\CO_X = \CO_{dsk} = \CP(X)$ ist jede Abbildung $f : X \to Y$ stetig. \item Für $\CO_Y = \CO_{ind} = \{\emptyset, X\}$ ist jede Abbildung $f : X \to Y$ stetig. diff --git a/tex/sections/02_zusammenhang.tex b/tex/sections/02_zusammenhang.tex index db198e1..5acd46c 100644 --- a/tex/sections/02_zusammenhang.tex +++ b/tex/sections/02_zusammenhang.tex @@ -5,7 +5,7 @@ Ein topologischer Raum $(X, \CO_X)$ heißt \begin{enumerate} \item \emph{zusammenhängend}, wenn er keine disjunkte Zerlegung in zwei nichtleere offene Teilmengen besitzt: - \[X = O_1 \cup O_2 \text{ mit } O_1, O_2 \in \CO_X, O_1 \cap O_2 = \emptyset \Rightarrow O_1 = \emptyset \text{ oder } O_2 = \emptyset.\] + \[X = O_1 \cup O_2 \text{ mit } O_1, O_2 \in \CO_X, O_1 \cap O_2 = \emptyset \Rightarrow O_1 = \emptyset \text{ oder } O_2 = \emptyset\] \item \emph{lokal zusammenhängend}, wenn jede Umgebung eines Punktes $x \in X$ eine zusammenhängende Umgebung von $x$ enthält. \end{enumerate} \end{definition} @@ -19,7 +19,7 @@ \end{lemma} \begin{example} - Eine Teilmenge $M \subseteq \mathbb{R}$ mit der Standardtopologie ist genau dann zusammenhängen, wenn sie ein Intervall ist. + Eine Teilmenge $M \subseteq \mathbb{R}$ mit der Standardtopologie ist genau dann zusammenhängend, wenn sie ein Intervall ist. \end{example} \begin{theorem} @@ -29,18 +29,18 @@ \end{enumerate} \end{theorem} -TODO +% TODO \section{Trennung von Punkten} \begin{definition}[Trennungsaxiome] Ein topologischer Raum $(X, \CO)$ heißt: \begin{enumerate} - \item \emph{$T_0$-Raum}, wenn zu je zwei verschiedenen $x_1, x_2 \in X$ eine offene Menge $O \in \CO$ existert, die nur eine von beiden Punkten enthält. - \item \emph{$T_1$-Raum}, wenn zu je zwei verschiedenen $x_1, x_2 \in X$ eine offene Menge $O \in \CO$ existiert, die $x_1$ enthält, aber nicht $x_2$ enthält. - \item \emph{$T_2$-Raum} oder \emph{Hausdorffraum}, wenn zu je zwei verschiedenen $x_1, x_2 \in X$ disjunkte offene Teilmenge $O_1, O_2 \subseteq X$ existieren mit $x_1 \in O_1, x_2 \in O_2$. - \item \emph{$T_3$-Raum}, wenn zu jedem Punkt $x \in X$ und jeder abgeschlossenen Menge $A \subseteq X$ mit $x \not\in A$ disjunkte offene Teilmengen $O_x, O_A \subseteq X$ existieren mit $x \in O_x, A \subseteq O_A$. - \item \emph{$T_4$-Raum}, wenn zu je zwei disjunkten abgeschlossenen Teilmengen $A_1, A_2 \subseteq X$ disjunkte offene Teilmengen $O_1, O_2 \subseteq X$ existieren mit $A_1 \subseteq O_1, A_2 \subseteq O_2$. - \item \emph{regulärer Raum}, wenn er ein $T_1$-Raum und ein $T_3$-Raum ist. + \item \emph{$T_0$-Raum}, wenn zu je zwei verschiedenen $x_1, x_2 \in X$ eine offene Menge $O \in \CO$ existiert, die nur eine von beiden Punkten enthält + \item \emph{$T_1$-Raum}, wenn zu je zwei verschiedenen $x_1, x_2 \in X$ eine offene Menge $O \in \CO$ existiert, die $x_1$ enthält, aber nicht $x_2$ enthält + \item \emph{$T_2$-Raum} oder \emph{Hausdorffraum}, wenn zu je zwei verschiedenen $x_1, x_2 \in X$ disjunkte offene Teilmenge $O_1, O_2 \subseteq X$ existieren mit $x_1 \in O_1, x_2 \in O_2$ + \item \emph{$T_3$-Raum}, wenn zu jedem Punkt $x \in X$ und jeder abgeschlossenen Menge $A \subseteq X$ mit $x \not\in A$ disjunkte offene Teilmengen $O_x, O_A \subseteq X$ existieren mit $x \in O_x, A \subseteq O_A$ + \item \emph{$T_4$-Raum}, wenn zu je zwei disjunkten abgeschlossenen Teilmengen $A_1, A_2 \subseteq X$ disjunkte offene Teilmengen $O_1, O_2 \subseteq X$ existieren mit $A_1 \subseteq O_1, A_2 \subseteq O_2$ + \item \emph{regulärer Raum}, wenn er ein $T_1$-Raum und ein $T_3$-Raum ist \item \emph{normaler Raum}, wenn er ein $T_2$-Raum und ein $T_4$-Raum ist. \end{enumerate} \end{definition} diff --git a/tex/sections/03_konstruktion.tex b/tex/sections/03_konstruktion.tex index 7990267..0441bfd 100644 --- a/tex/sections/03_konstruktion.tex +++ b/tex/sections/03_konstruktion.tex @@ -1,9 +1,206 @@ +% chktex-file 3 + \chapter{Konstruktion von Topologischen Räumen} \section{Initial und Finaltopologie} +\begin{definition}[Initialtopologie] + Sei $X$ eine Menge und $(Y_i, \CO_i)_{i\in I}$ eine durch $I$ indizierte Familie topologischer Räume. + Die durch eine Familie $f_i : X \to Y$ induzierte \emph{Initialtopologie} auf $X$ ist die von den Urbildern aller offenen Mengen in $Y_i$ erzeugte Topologie auf $X$: + \[\CO_{ini} = \langle \bigcup_{i\in I} \{f_i^\mone (O) \;\vert\; O \in \CO_i\}.\] +\end{definition} + +\begin{definition}[Finaltopologie] + Sei $X$ eine Menge und $(Y_i, \CO_i)_{i\in I}$ eine durch $I$ indizierte Familie topologischer Räume. + Die durch eine Familie $g_i : Y_i \to X$ induzierte \emph{Finaltopologie} auf $X$ besteht aus den Mengen, deren Urbilder offen sind + \[\CO_{fin} = \{O \subseteq X \;\vert\; g_i^\mone (O) \in \CO_i, \forall i \in I\}.\] +\end{definition} + +\begin{theorem} + Sei $X$ eine Menge, $(Y_i, \CO_i)_{i \in I}$ eine Familie topologischer Räume und $f_i : X \to Y_i$ und $g_i : Y_i \to X$ Familien von Abbildungen. + \begin{enumerate} + \item Die durch $(f_i)_{i \in I}$ induzierte Initialtopologie ist die gröbste Topologie auf $X$, für die alle $f_i$ stetig sind. + \item Sie ist die einzige Topologie, welche folgende \emph{universelle Eigenschaft} erfüllt: + Eine Abbildung $f : (W , \CO_W) \to (X, \CO_{ini})$ ist stetig genau dann, wenn die Abbildungen $f_i \circ f : (W, \CO_W) \to (Y_i, \CO_i)$ stetig sind für alle $i \in I$. + \item Die durch $(g_i)_{i \in I}$ induzierte Finaltopologie ist die feinste Topologie auf $X$, für die alle $g_i$ stetig sind. + \item Sie ist die einzige Topologie, welche folgende \emph{universelle Eigenschaft} erfüllt: + Eine Abbildung $g : (X , \CO_{fin}) \to (W, \CO_W)$ ist stetig genau dann, wenn die Abbildungen $g_i \circ g : (Y_i, \CO_i) \to (W, \CO_W)$ stetig sind für alle $i \in I$. + \end{enumerate} +\end{theorem} + \section{Teilräume und Quotienten} +\subsection{Die Teilraumtopologie} + +\begin{definition}[Teilraumtopologie] + Seien $(X, \CO_X), (W, \CO_W)$ topologische Räume, $M \subseteq X$ eine Teilemenge und $\iota : M \to X$ die Inklusionsabbildung. + \begin{enumerate} + \item Die \emph{Teilraumtopologie} $\CO_{M\subseteq X}$ (Vgl.\ \autoref{ex:teilraumtopologie}) ist die von $\iota$ induzierte Initialtopologie auf $M$. + \item Eine Abbildung $f : W \to X$ heißt \emph{Einbettung} von $(W, \CO_W)$ in $(X, \CO_X)$, wenn sie injektiv ist und $\CO_W$ die von $f$ induzierte Initialtopologie auf $W$. + \end{enumerate} +\end{definition} + +\begin{remark} + \begin{enumerate} + \item Die Teilraumtopologie auf $M$ ist die gröbste Topologie auf $M$, für die die Inklusionsabbildung stetig ist und es gilt: + \[\CO_{M\subseteq X} = \{O \cap M \;\vert\; O \in \CO_X\}.\] + \item Eine injektive Abbildung $f : W \to X$ ist eine Einbettung genau dann, wenn ihre Koeinschränkung $f^{\vert f(W)} : W \to f(W)$ ein Homöomorphismus ist. + \end{enumerate} +\end{remark} + +\begin{theorem}[Universelle Eigenschaft des Teilraums] + Sei $(X, \CO_X)$ ein topologischer Raum und $M \subseteq X$ eine Teilmenge. Die Teilraumtopologie ist die einzige Topologie mit folgender \emph{universellen Eigenschaft}: + + Die Inklusionsabbildung $\iota : M \to X$ ist stetig und zu jeder stetigen Abbildung $f : (W, \CO_W) \to (X, \CO_X)$ mit $f(W) \subseteq M$ gibt es genau eine stetige Abbildung $\tilde{f} : W \to M$ mit $\iota \circ \tilde{f} = f$. + % https://q.uiver.app/#q=WzAsMyxbMCwwLCIoVywgXFxDT19XKSJdLFsyLDAsIihNLCBcXENPX3tNIFxcc3Vic2V0ZXEgWH0pIl0sWzIsMiwiKFgsIFxcQ09fWCkiXSxbMCwxLCJcXGV4aXN0cyFcXHRpbGRle2Z9IiwwLHsic3R5bGUiOnsiYm9keSI6eyJuYW1lIjoiZGFzaGVkIn19fV0sWzEsMiwiXFxpb3RhIl0sWzAsMiwiZiJdLFswLDIsImYoVykgXFxzdWJzZXRlcSBNIiwyXV0= + \[\begin{tikzcd} + {(W, \CO_W)} && {(M, \CO_{M \subseteq X})} \\ + \\ + && {(X, \CO_X)} + \arrow["{\exists!\tilde{f}}", dashed, from=1-1, to=1-3] + \arrow["f", from=1-1, to=3-3] + \arrow["{f(W) \subseteq M}"', from=1-1, to=3-3] + \arrow["\iota", from=1-3, to=3-3] + \end{tikzcd}\] +\end{theorem} + +\subsection{Die Quotiententopologie} +\begin{definition}[Quotiententopoloogie] + Seien $(X, \CO_X)$ und $(Y, \CO_Y)$ topologische Räume, $\sim$ eine Äquivalenzrelation auf $X$ und $\pi : X \to X / \sim, x \mapsto [x]$ die \emph{kanonische Surjektion}. + \begin{enumerate} + \item Die \emph{Quotiententopologie} $\CO_\sim$ auf $X / \sim$ ist die von $\pi$ induzierte Finaltopologie auf $X / \sim$. + \item Eine Abbildung $f : X \to Y$ heißt \emph{Identifizierung}, wenn sie surjektiv ist und $\CO_Y$ die von $f$ induzierte Finaltopologie auf $Y$ ist. + \end{enumerate} +\end{definition} + +\begin{remark} + \begin{enumerate} + \item Die Quotiententopologie auf $X / \sim$ ist die feinste Topologie auf $X / \sim$, für die die kanonische Surjektion $\pi : X \to X / \sim$ stetig ist. Es gilt: + \[\CO_\sim = \{O \subseteq X / \sim \;\vert\; \pi^\mone(X) \in \CO_X\}.\] + \item Eine surjektive Abbildung $f : X \to Y$ ist eine Identifizierung genau dann, wenn die Abbildung $f' : X/\sim \to Y, [x] \mapsto f(x)$ mit der Äquivalenzrelation $x \sim x' \iff f(x) = f(x')$ ein Homöomorphismus ist. + \end{enumerate} +\end{remark} + +\begin{theorem}[Universelle Eigenschaft des Quotientenraums] + Sei $(X,CO_X)$ ein topologischer Raum und $\sim$ eine Äquivalenzrelation auf $X$. + Dann ist der Quotientenraum die einzige Topologie mit der folgenden \emph{universellen Eigenschaft}: + + Die kanonische Surjektion $\pi : X \to X/\sim$ ist stetig und zu jeder stetigen Abbildung $g : X \to Y$ die auf Äquivalenzklassen konstant ist, existiert genau eine stetige Abbildung $\tilde{g} : X/\sim \to Y$ mit $\tilde{g} \circ \pi = g$. + % https://q.uiver.app/#q=WzAsMyxbMCwwLCIoWSwgXFxDT19ZKSJdLFsyLDAsIihYL1xcc2ltLCBcXENPX1xcc2ltKSJdLFsyLDIsIihYLCBcXENPX1gpIl0sWzIsMSwiXFxwaSIsMl0sWzIsMCwiZyIsMl0sWzEsMCwiXFxleGlzdHMhIFxcdGlsZGV7Z30iLDIseyJzdHlsZSI6eyJib2R5Ijp7Im5hbWUiOiJkYXNoZWQifX19XSxbMiwwLCJnX3tcXHZlcnRbeF19IFxcdGV4dHtrb25zdGFudH0iXV0= + \[\begin{tikzcd} + {(Y, \CO_Y)} && {(X/\sim, \CO_\sim)} \\ + \\ + && {(X, \CO_X)} + \arrow["{\exists! \tilde{g}}"', dashed, from=1-3, to=1-1] + \arrow["g"', from=3-3, to=1-1] + \arrow["{g_{\vert[x]} \text{konstant}}", from=3-3, to=1-1] + \arrow["\pi"', from=3-3, to=1-3] + \end{tikzcd}\] +\end{theorem} + +\begin{remark} + \begin{enumerate} + \item Ist $(X, \CO)$ (weg)~zusammenhängend so ist auch $(X/\sim, \CO_\sim)$ (weg)~zusammenhängend. + \item Quotientenräume erhalten im Allgemeinen nicht die Hausdorffeigenschaft. + \end{enumerate} +\end{remark} + \section{Produkte und Summen} -\section{Pullback und Pushout} \ No newline at end of file +\subsection{Die Produkttopologie} + +\begin{definition}[Produkttopologie] + Sei $(X_i, \CO_i)_{i \in I}$ eine Familie topologischer Räume. + Die \emph{Produkttopologie} auf der Menge $\bigtimes_{i \in I} X_i$ ist die von den Projektionsabbildungen $\pi_j : \bigtimes_{i \in I} X_i \to X_j$ induzierte Initialtopologie auf $\bigtimes_{i \in I} X_i$. + Man bezeichnet diesen Raum als das Produkt der Räume $(X_i, \CO_i)$ und mit $\prod_{i \in I}X_i$. +\end{definition} + +\begin{remark} + \begin{enumerate} + \item Die Menge $\CS = \bigcup_{i \in I} \{\pi_i^\mone(O) \;\vert\; O \in \CO_i\}$ ist eine Subbasis von $\prod_{i \in I}X_i$. + \item Die Menge $\CB = \{\prod_{i \in I} O_i \;\vert\; O_i \in \CO_i, O_i = X_i \text{ für fast alle } i \in I\}$ ist eine Basis von $\prod_{i \in I}X_i$. + \item Also sind offene Mengen in $\prod_{i \in I}X_i$ Vereinigungen von Mengen der Form $O = \prod_{i \in I}O_i$ mit $O_i \subseteq X_i$ offen und $O_i = X_i$ für fast alle $i \in I$. + \end{enumerate} +\end{remark} + +\begin{example} + \begin{enumerate} + \item Für $I = \emptyset$ ist $\prod_{i \in I}X_i$ der Einpunktraum (Vgl.\ \autoref{ex:einpunktraum}). + \item Seien $(X_1, d_1)$ und $(X_2, d_2)$ metrische Räume, dann ist $d : (X_1 \times X_2) \times (X_1 \times X_2) \to \mathbb{R}$ mit + \[d((x_1,x_2), (y_1, y_2)) = \max\{d_1(x_1,y_1),d_2(x_2,y_2)\}\] + eine Metrik auf $X_1 \times X_2$, die \emph{Produktmetrik}. + Die von der Produktmetrik induzierte metrische Topologie entspricht der Produkttopologie. + Dies gilt auch für abzählbare Produkte, nicht jedoch für überabzählbare Produkte. + \end{enumerate} +\end{example} + +\begin{theorem} + Sei $(X_i, \CO_i)_{i \in I}$ eine Familie topologischer Räume. Dann ist $\prod_{i \in I}X_i$ die einzige Topologie mit folgender \emph{universellen Eigenschaft}. + Die Projektionsabbildungen $\pi_j : \prod_{i \in I}X_i \to X_j$ sind stetig und zu jeder Familie stetige Abbildungen $(f_i)_{i \in I} : W \to X_i$ gibt es genau eine stetige Abbildung $f : W \to \prod_{i \in I}X_i$ mit $\pi_i \circ f = f_i$ für alle $i\in I$. + % https://q.uiver.app/#q=WzAsMyxbMCwwLCIoVywgXFxDT19XKSJdLFsyLDAsIlxccHJvZF97aSBcXGluIEl9WF9pIl0sWzIsMiwiKFhfaSwgXFxDT19pKSJdLFsxLDIsIlxccGlfaSJdLFswLDIsImZfaSIsMl0sWzAsMSwiXFxleGlzdHMhZiIsMCx7InN0eWxlIjp7ImJvZHkiOnsibmFtZSI6ImRhc2hlZCJ9fX1dXQ== + \[\begin{tikzcd} + {(W, \CO_W)} && {\prod_{i \in I}X_i} \\ + \\ + && {(X_i, \CO_i)} + \arrow["{\exists!f}", dashed, from=1-1, to=1-3] + \arrow["{f_i}"', from=1-1, to=3-3] + \arrow["{\pi_i}", from=1-3, to=3-3] + \end{tikzcd}\] +\end{theorem} + +\begin{theorem} + Sei $(X_i, \CO_i)_{i \in I}$ eine Familie topologischer Räume und $k \in \{0,1,2,3\}$. Dann gilt: + \begin{enumerate} + \item Ist $(X_i, \CO_i)$ ein $T_k$-Raum für alle $i \in I$, so ist auch $\prod_{i \in I}X_i$ ein $T_k$-Raum. + \item Ist $(X_i, \CO_i)$ (weg)~zusammenhängend für alle $i \in I$, so ist auch $\prod_{i \in I}X_i$ (weg)~zusammenhängend. + \end{enumerate} +\end{theorem} + +\subsection{Die Summentopologie} +\begin{definition}[Summentopologie] + Sei $(X_i, \CO_i)_{i \in I}$ eine Familie topologischer Räume. + Die \emph{Summentopologie} auf der Menge $\bigsqcup_{i \in I} X_i$ ist die von den Inklusionsabbildungen $\iota_j : X_j \to \bigsqcup_{i \in I} X_i$ induzierte Finaltopologie auf $\bigsqcup_{i \in I} X_i$. + Man bezeichnet diesen Raum als die Summe der Räume $(X_i, \CO_i)$ und mit $\coprod_{i \in I}X_i$. +\end{definition} + +\begin{remark} + Die Topologie auf $\coprod_{i \in I}X_i$ ist gegeben durch $\CO = \{O \in \bigsqcup_{i \in I} X_i \;\vert\; \iota_i^\mone(O) \in \CO_I, \forall i\in I\}$. Also sind die offenen Mengen in $\coprod_{i \in I}X_i$ gerade die Vereinigungen von Mengen der Form $O_i \times \{ i \}$ für $O_i \in \CO_i$. +\end{remark} + +\begin{example} + Für $I = \emptyset$ ist $\coprod_{i \in I}X_i$ der leere Raum (Vgl.\ \autoref{ex:leererraum}). +\end{example} + +\begin{theorem} + Sei $(X_i, \CO_i)_{i \in I}$ eine Familie topologischer Räume. Dann ist $\coprod_{i \in I}X_i$ die einzige Topologie mit folgender \emph{universellen Eigenschaft}. + Die Inklusionsabbildungen $\iota_j : X_j \to \coprod_{i \in I}X_i$ sind stetig und zu jeder Familie stetige Abbildungen $(g_i)_{i \in I} : X_i \to W$ gibt es genau eine stetige Abbildung $g : \coprod_{i \in I}X_i \to W$ mit $g \circ \iota_i = g_i$ für alle $i\in I$. + % https://q.uiver.app/#q=WzAsMyxbMCwwLCIoVywgXFxDT19XKSJdLFsyLDAsIlxcY29wcm9kX3tpIFxcaW4gSX1YX2kiXSxbMiwyLCIoWF9pLCBcXENPX2kpIl0sWzIsMSwiXFxpb3RhX2kiLDJdLFsyLDAsImdfaSJdLFsxLDAsIlxcZXhpc3RzIWciLDIseyJzdHlsZSI6eyJib2R5Ijp7Im5hbWUiOiJkYXNoZWQifX19XV0= + \[\begin{tikzcd} + {(W, \CO_W)} && {\coprod_{i \in I}X_i} \\ + \\ + && {(X_i, \CO_i)} + \arrow["{\exists!g}"', dashed, from=1-3, to=1-1] + \arrow["{g_i}", from=3-3, to=1-1] + \arrow["{\iota_i}"', from=3-3, to=1-3] + \end{tikzcd}\] +\end{theorem} + +\begin{theorem} + Sei $(X_i, \CO_i)_{i \in I}$ eine Familie topologischer Räume und $k \in \{0,1,2,3\}$. Dann gilt: + \begin{enumerate} + \item Ist $(X_i, \CO_i)$ ein $T_k$-Raum für alle $i \in I$, so ist auch $\coprod_{i \in I}X_i$ ein $T_k$-Raum. + \item Gibt es $i \not= j \in I$ mit $X_i, X_j \not= \emptyset$, so ist $\coprod_{i \in I}X_i$ nicht zusammenhängend. + \end{enumerate} +\end{theorem} + +\subsection{Topologische Gruppen} + +\begin{definition}[Topologische Gruppe] + Eine \emph{topologische Gruppe} ist eine Gruppe $(G, \circ)$, zusammen mit einer Topologie $\CO$ auf $G$, sodass die Gruppenmultiplikation und die Inversion stetig sind. +\end{definition} + +\subsection{Topologische Vektorräume} + +\begin{definition}[Topologischer Vektorraum] + Ein \emph{topologischer Vektorraum} ist ein Vektorraum $(V, +, \cdot)$ über $\mathbb{R}$ mit einer Topologie $\CO$ auf $V$, sodass die Vektoraddition und die Skalarmultiplikation stetig sind bezüglich $\CO$, und den Produkttopologien $V \times V$ und $\mathbb{R} \times V$. +\end{definition} diff --git a/tex/sections/04_kompaktheit.tex b/tex/sections/04_kompaktheit.tex index 1f47ffd..c6ec205 100644 --- a/tex/sections/04_kompaktheit.tex +++ b/tex/sections/04_kompaktheit.tex @@ -1 +1,8 @@ -\chapter{Kompaktheit} \ No newline at end of file +\chapter{Kompaktheit} +\section{Kompaktheit} + +\section{Kompaktheit in metrischen Räumen} + +\section{Der Satz von Tychonoff} + +\section{Lokale Kompaktheit} \ No newline at end of file