From fc0a6b6053b87a399169bc0bf9f889d4ab3ec9be Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Leon Vatthauer Date: Thu, 20 Jun 2024 15:55:36 +0200 Subject: [PATCH] finish chp 1 and good progress on chp2 --- tex/main.tex | 2 +- tex/sections/01_topräume.tex | 106 ++++++++++++++++++++++++++++++- tex/sections/02_zusammenhang.tex | 78 ++++++++++++++++++++++- 3 files changed, 183 insertions(+), 3 deletions(-) diff --git a/tex/main.tex b/tex/main.tex index fc26d89..6f6580b 100644 --- a/tex/main.tex +++ b/tex/main.tex @@ -60,7 +60,7 @@ \declaretheorem[name=Definition,style=definition,numberwithin=section]{definition} \declaretheorem[name=Beispiel,style=definition,sibling=definition]{example} \declaretheorem[style=definition,numbered=no]{exercise} -\declaretheorem[name=Anmerkung,style=definition,sibling=definition]{remark} +\declaretheorem[name=Bemerkung,style=definition,sibling=definition]{remark} \declaretheorem[name=Annahme,style=definition,sibling=definition]{assumption} \declaretheorem[name=Beobachtung,style=definition,sibling=definition]{observation} \declaretheorem[name=Satz,sibling=definition]{theorem} diff --git a/tex/sections/01_topräume.tex b/tex/sections/01_topräume.tex index 59659f4..96a78e0 100644 --- a/tex/sections/01_topräume.tex +++ b/tex/sections/01_topräume.tex @@ -255,4 +255,108 @@ Erfüllt ein topologischer Raum $(X, \CO)$ das 2. Abzählbarkeitsaxiom, so gibt es eine abzählbare dichte Teilmenge $M \subseteq X$. \end{lemma} -\section{Stetige Abbildungen} \ No newline at end of file +\section{Stetige Abbildungen} +\begin{definition}[Stetige Abbildung] + Seien $(X, \CO_X)$ und $(Y, \CO_Y)$ topologische Räume. + Eine Abbildung $f : X \to Y$ heißt \emph{stetig}, wenn das Urbild jeder offenen Menge offen ist: + \[O \in \CO_Y \Rightarrow f^{-1}(X) \in \CO_X.\] +\end{definition} + +\begin{corollary} + \begin{enumerate} + \item Eine Abbildung $f : X \to Y$ ist äquivalenterweise stetig, wenn das Urbild jeder abgeschlossenen Menge abgeschlossen ist: + \[A \subseteq X \text{ abgeschlossen} \Rightarrow f^{-1}(A) \text{ abgeschlossen}.\] + \item Eine Abbildung $f : X \to Y$ ist stetig genau dann, wenn für alle Teilmenge $S \subseteq X$ gilt: + \[ f(\clos{S}) \subseteq \clos{f(S)}. \] + \end{enumerate} +\end{corollary} + +\begin{example} + Beispiele für stetige Funktionen $f : (X, \CO_X) \to (Y, \CO_Y)$ + \begin{enumerate} + \item Für $\CO_X = \CO_{dsk} = \CP(X)$ ist jede Abbildung $f : X \to Y$ stetig. + \item Für $\CO_Y = \CO_{ind} = \{\emptyset, X\}$ ist jede Abbildung $f : X \to Y$ stetig. + \item Ist $f : X \to Y$ stetig und $M \subseteq X$, so ist auch die Einschränkung $f\vert_{M} : M \to Y$ stetig. + \item Ist $f : X \to Y$ stetig und $f(X) \subseteq N \subseteq Y$, so ist auch die Koeinschränkung $f^{\vert N} : X \to N$ stetig. + \item Für beliebige $\CO_X, \CO_Y$ sind alle konstanten Abbildungen stetig. + \item $id_X : (X, \CO_1) \to (X, \CO_2)$ ist stetig genau dann, wenn $\CO_1$ feiner als $\CO_2$ ist. + \item Für jeden topologischen Raum $(X, \CO)$ gibt es genau eine stetige Abbildung $f : \emptyset \to X$ und genau eine stetige Abbildung $f : X \to \{ m \}$. + \item Die Komposition zweier stetiger Abbildungen ist stetig. + \end{enumerate} +\end{example} + +\begin{lemma} + Ist $\CM$ eine Subbasis von $\CO_Y$, so ist $f : (X, \CO_X) \to (Y, \CO_Y)$ genau dann stetig, wenn $f^\mone(O)$ offen ist für alle $O \in \CM$. +\end{lemma} + +\subsection{Homöomorphismen} +\begin{definition}[Homöomorphismus] + Eine stetige Abbildung $f : X \to Y$ heißt \emph{Homöomorphismus} oder \emph{Isomorphismus von topologischen Räumen}, + wenn sie bijektiv ist und ihre Umkehrabbildung $f^\mone : Y \to X$ ebenfalls stetig ist. + Dann nennt man die topologischen Räume $(X, \CO_X)$ und $(Y, \CO_Y)$ \emph{homöomorph}. +\end{definition} + +\begin{definition} + Seien $(X, \CO_X)$ und $(Y, \CO_Y)$ topologische Räume. + \begin{enumerate} + \item Eine Abbildung $f : X \to Y$ heißt \emph{offen}, wenn das Bild jeder offenen Menge offen ist: + \[O \in \CO_X \Rightarrow f(O) \in \CO_Y.\] + \item Eine Abbildung $f : X \to Y$ heißt \emph{abgeschlossen}, wenn das Bild jeder abgeschlossenen Menge abgeschlossen ist: + \[X \setminus A \in \CO_X \Rightarrow Y \setminus f(A) \in \CO_Y.\] + \end{enumerate} +\end{definition} + +\begin{theorem} + Für eine stetige Abbildung $f : X \to Y$ sind äquivalent: + \begin{enumerate} + \item $f$ ist ein Homöomorphismus. + \item $f$ ist bijektiv und offen. + \item $f$ ist bijektiv und abgeschlossen. + \end{enumerate} +\end{theorem} + +\subsection{Folgenstetigkeit} + +\begin{definition}[Stetig in einem Punkt] + Eine Abbildung $f : X \to Y$ heißt \emph{stetig in einem Punkt} $x \in X$, wenn das Urbild jeder Umgebung von $f(x)$ eine Umgebung von $x$ ist: + \[U \in \CU(f(x)) \Rightarrow f^\mone(U) \in \CU(x).\] +\end{definition} + +\begin{theorem} + Eine Abbildung $f : X \to Y$ ist stetig genau dann, wenn sie stetig in allen $x \in X$ ist. +\end{theorem} + +\begin{theorem} + Für zwei metrische Räume $(X, d_X)$ und $(Y, d_Y)$ ist $f : X \to Y$ genau dann stetig in $x \in X$, wenn: + \[\forall \epsilon > 0. \exists \delta > 0. f(B_\delta(x)) \subseteq B_\epsilon(f(x)).\] +\end{theorem} + +\begin{definition}[Folgenstetigkeit] + Seien $(X, \CO_X)$ und $(Y, \CO_Y)$ topologische Räume. + \begin{enumerate} + \item Ein Punkt $x \in X$ heißt \emph{Häufungspunkt} einer Folge $(x_n)_{n\in\mathbb{N}_0}$ in $X$, wenn es zu jeder Umgebung $U \in \CU(x)$ unendlich viele $n \in \mathbb{N}_0$ gibt mit $x_n \in U$. + \item Ein Punkt $x \in X$ heißt \emph{Grenzwert} einer Folge $(x_n)_{n\in\mathbb{N}_0}$ in $X$, wenn für jede Umgebung $U \in \CU(x)$ gilt $x_n \in U$ für fast alle $n \in \mathbb{N}_0$. + \item Eine Abbildung $f : X \to Y$ heißt \emph{folgenstetig in einem Punkt} $x \in X$, wenn für alle konvergenten Folgen $(x_n)_{n \in \mathbb{N}_0}$ mit Grenzwert $x \in X$ die Bildfolge $(f(x_n))_{n \in \mathbb{N}_0}$ konvergent mit Grenzwert $f(x) \in Y$ ist. + \item Eine Abbildung $f : X \to Y$ heißt \emph{folgenstetig}, wenn sie folgenstetig in allen Punkten $x \in X$ ist. + \end{enumerate} +\end{definition} + +\begin{definition}[1. Abzählbarkeitsaxiom] + Ein topologischer Raum $(X, \CO)$ erfüllt das \emph{1. Abzählbarkeitsaxiom}, wenn zu jedem Punkt $x \in X$ eine Familie $(U_n)_{n \in \mathbb{N}_0}$ von Umgebungen $U_n \in \CU(x)$ existiert, sodass jede Umgebung $U \in \CU(x)$ eine Umgebung $U_n$ enthält. + Eine solche Familie von Umgebungen heißt \emph{Umgebungsbasis} im Punkt $x$. +\end{definition} + +\begin{lemma} + \begin{enumerate} + \item Jeder topologische Raum der das 2. Abzählbarkeitsaxiom erfüllt, erfüllt auch das 1. Abzählbarkeitsaxiom. + \item Jeder metrische Raum erfüllt das 1. Abzählbarkeitsaxiom. + \end{enumerate} +\end{lemma} + +\begin{theorem} + Für topologische Räum $(X, \CO_X)$ und $(Y, \CO_Y)$ gilt: + \begin{enumerate} + \item Stetige Abbildungen $f : X \to Y$ sind folgenstetig. + \item Erfüllt $(X, \CO_X)$ das 1. Abzählbarkeitsaxiom, so sind folgenstetige $f : X \to Y$ auch stetig. + \end{enumerate} +\end{theorem} \ No newline at end of file diff --git a/tex/sections/02_zusammenhang.tex b/tex/sections/02_zusammenhang.tex index 8565f70..db198e1 100644 --- a/tex/sections/02_zusammenhang.tex +++ b/tex/sections/02_zusammenhang.tex @@ -1 +1,77 @@ -\chapter{Zusammenhang und Trennung} \ No newline at end of file +\chapter{Zusammenhang und Trennung} + +\section{Zusammenhang} +\begin{definition}[(Lokal) Zusammenhängende Räume] + Ein topologischer Raum $(X, \CO_X)$ heißt + \begin{enumerate} + \item \emph{zusammenhängend}, wenn er keine disjunkte Zerlegung in zwei nichtleere offene Teilmengen besitzt: + \[X = O_1 \cup O_2 \text{ mit } O_1, O_2 \in \CO_X, O_1 \cap O_2 = \emptyset \Rightarrow O_1 = \emptyset \text{ oder } O_2 = \emptyset.\] + \item \emph{lokal zusammenhängend}, wenn jede Umgebung eines Punktes $x \in X$ eine zusammenhängende Umgebung von $x$ enthält. + \end{enumerate} +\end{definition} + +\begin{lemma} + Ein topologischer Raum $(X, \CO_X)$ ist genau dann zusammenhängend, wenn eine der folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt ist: + \begin{enumerate} + \item $X$ besitzt keine disjunkte Zerlegung in zwei nichtleere abgeschlossene Teilmengen + \item $X$ und $\emptyset$ sind die einzigen Teilmengen von $X$, die offen und abgeschlossen sind. + \end{enumerate} +\end{lemma} + +\begin{example} + Eine Teilmenge $M \subseteq \mathbb{R}$ mit der Standardtopologie ist genau dann zusammenhängen, wenn sie ein Intervall ist. +\end{example} + +\begin{theorem} + \begin{enumerate} + \item Ist $(X, \CO_X)$ zusammenhängend und $f : X \to Y$ stetig, so ist auch das Bild $f(X) \subseteq Y$ zusammenhängend. + \item Vereinigungen von disjunkten zusammenhängenden Teilmengen sind zusammenhängend. + \end{enumerate} +\end{theorem} + +TODO + +\section{Trennung von Punkten} +\begin{definition}[Trennungsaxiome] + Ein topologischer Raum $(X, \CO)$ heißt: + \begin{enumerate} + \item \emph{$T_0$-Raum}, wenn zu je zwei verschiedenen $x_1, x_2 \in X$ eine offene Menge $O \in \CO$ existert, die nur eine von beiden Punkten enthält. + \item \emph{$T_1$-Raum}, wenn zu je zwei verschiedenen $x_1, x_2 \in X$ eine offene Menge $O \in \CO$ existiert, die $x_1$ enthält, aber nicht $x_2$ enthält. + \item \emph{$T_2$-Raum} oder \emph{Hausdorffraum}, wenn zu je zwei verschiedenen $x_1, x_2 \in X$ disjunkte offene Teilmenge $O_1, O_2 \subseteq X$ existieren mit $x_1 \in O_1, x_2 \in O_2$. + \item \emph{$T_3$-Raum}, wenn zu jedem Punkt $x \in X$ und jeder abgeschlossenen Menge $A \subseteq X$ mit $x \not\in A$ disjunkte offene Teilmengen $O_x, O_A \subseteq X$ existieren mit $x \in O_x, A \subseteq O_A$. + \item \emph{$T_4$-Raum}, wenn zu je zwei disjunkten abgeschlossenen Teilmengen $A_1, A_2 \subseteq X$ disjunkte offene Teilmengen $O_1, O_2 \subseteq X$ existieren mit $A_1 \subseteq O_1, A_2 \subseteq O_2$. + \item \emph{regulärer Raum}, wenn er ein $T_1$-Raum und ein $T_3$-Raum ist. + \item \emph{normaler Raum}, wenn er ein $T_2$-Raum und ein $T_4$-Raum ist. + \end{enumerate} +\end{definition} + +\begin{remark} + Die Bedingung an einen $T_1$-Raum ist äquivalent zu der Forderung, dass einelementige Teilmengen von $X$ abgeschlossen sind. +\end{remark} + +\begin{remark} + Es gilt: + \[(X, \CO) \text{ normal } \Rightarrow (X, \CO) \text{ regulär}.\] +\end{remark} + +\begin{example} + Jeder metrische Raum mit der metrischen Topologie ist normal. +\end{example} + +\begin{lemma} + Wenn ein topologischer Raum $(X, \CO)$ das 2. Abzählbarkeitsaxiom erfüllt gilt: + \[(X, \CO) \text{ regulär } \Rightarrow (X, \CO) \text{ normal}.\] +\end{lemma} + +\begin{lemma} + Sei $(X, \CO)$ ein $T_k$-Raum mit $k \in \{0,1,2,3\}$. Dann ist auch jede Teilmenge $M \subseteq X$ mit der Teilraumtopologie ein $T_k$-Raum. +\end{lemma} + +\begin{theorem}[Lemma von Urysohn] + Ein Hausdorffraum $(X, \CO)$ ist genau dann normal, wenn zu je zwei disjunkten abgeschlossenen Mengen $A_1, A_2 \subseteq X$ eine stetige Abbildung $f : X \to [0,1]$ mit $f(x) = 0$ für alle $x \in A_1$ und $f(x) = 1$ für alle $x \in A_2$ existiert. + Eine solche Abbildung heißt \emph{Urysohn-Funktion}. +\end{theorem} + +\begin{theorem}[Fortsetzungssatz von Tietze] + Sei $(X, \CO)$ ein normaler topologischer Raum, $A \subseteq X$ abgeschlossen und $f : A \to \mathbb{R}$ stetig. Dann gibt es eine stetige Abbildung $F : X \to \mathbb{R}$ mit $F\vert_A = f$ (eine \emph{stetige Fortsetzung}). +\end{theorem} \ No newline at end of file