\chapter{Zusammenhang und Trennung}

\section{Zusammenhang}
\begin{definition}[(Lokal) Zusammenhängende Räume]
  Ein topologischer Raum $(X, \CO_X)$ heißt
  \begin{enumerate}
    \item \emph{zusammenhängend}, wenn er keine disjunkte Zerlegung in zwei nichtleere offene Teilmengen besitzt:
          \[X = O_1 \cup O_2 \text{ mit } O_1, O_2 \in \CO_X, O_1 \cap O_2 = \emptyset \Rightarrow O_1 = \emptyset \text{ oder } O_2 = \emptyset.\]
    \item \emph{lokal zusammenhängend}, wenn jede Umgebung eines Punktes $x \in X$ eine zusammenhängende Umgebung von $x$ enthält.
  \end{enumerate}
\end{definition}

\begin{lemma}
  Ein topologischer Raum $(X, \CO_X)$ ist genau dann zusammenhängend, wenn eine der folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt ist:
  \begin{enumerate}
    \item $X$ besitzt keine disjunkte Zerlegung in zwei nichtleere abgeschlossene Teilmengen
    \item $X$ und $\emptyset$ sind die einzigen Teilmengen von $X$, die offen und abgeschlossen sind.
  \end{enumerate}
\end{lemma}

\begin{example}
  Eine Teilmenge $M \subseteq \mathbb{R}$ mit der Standardtopologie ist genau dann zusammenhängen, wenn sie ein Intervall ist.
\end{example}

\begin{theorem}
  \begin{enumerate}
    \item Ist $(X, \CO_X)$ zusammenhängend und $f : X \to Y$ stetig, so ist auch das Bild $f(X) \subseteq Y$ zusammenhängend.
    \item Vereinigungen von disjunkten zusammenhängenden Teilmengen sind zusammenhängend.
  \end{enumerate}
\end{theorem}

TODO

\section{Trennung von Punkten}
\begin{definition}[Trennungsaxiome]
  Ein topologischer Raum $(X, \CO)$ heißt:
  \begin{enumerate}
    \item \emph{$T_0$-Raum}, wenn zu je zwei verschiedenen $x_1, x_2 \in X$ eine offene Menge $O \in \CO$ existert, die nur eine von beiden Punkten enthält.
    \item \emph{$T_1$-Raum}, wenn zu je zwei verschiedenen $x_1, x_2 \in X$ eine offene Menge $O \in \CO$ existiert, die $x_1$ enthält, aber nicht $x_2$ enthält.
    \item \emph{$T_2$-Raum} oder \emph{Hausdorffraum}, wenn zu je zwei verschiedenen $x_1, x_2 \in X$ disjunkte offene Teilmenge $O_1, O_2 \subseteq X$ existieren mit $x_1 \in O_1, x_2 \in O_2$.
    \item \emph{$T_3$-Raum}, wenn zu jedem Punkt $x \in X$ und jeder abgeschlossenen Menge $A \subseteq X$ mit $x \not\in A$ disjunkte offene Teilmengen $O_x, O_A \subseteq X$ existieren mit $x \in O_x, A \subseteq O_A$.
    \item \emph{$T_4$-Raum}, wenn zu je zwei disjunkten abgeschlossenen Teilmengen $A_1, A_2 \subseteq X$ disjunkte offene Teilmengen $O_1, O_2 \subseteq X$ existieren mit $A_1 \subseteq O_1, A_2 \subseteq O_2$.
    \item \emph{regulärer Raum}, wenn er ein $T_1$-Raum und ein $T_3$-Raum ist.
    \item \emph{normaler Raum}, wenn er ein $T_2$-Raum und ein $T_4$-Raum ist.
  \end{enumerate}
\end{definition}

\begin{remark}
  Die Bedingung an einen $T_1$-Raum ist äquivalent zu der Forderung, dass einelementige Teilmengen von $X$ abgeschlossen sind.
\end{remark}

\begin{remark}
  Es gilt:
  \[(X, \CO) \text{ normal } \Rightarrow (X, \CO) \text{ regulär}.\]
\end{remark}

\begin{example}
  Jeder metrische Raum mit der metrischen Topologie ist normal.
\end{example}

\begin{lemma}
  Wenn ein topologischer Raum $(X, \CO)$ das 2. Abzählbarkeitsaxiom erfüllt gilt:
  \[(X, \CO) \text{ regulär } \Rightarrow (X, \CO) \text{ normal}.\]
\end{lemma}

\begin{lemma}
  Sei $(X, \CO)$ ein $T_k$-Raum mit $k \in \{0,1,2,3\}$. Dann ist auch jede Teilmenge $M \subseteq X$ mit der Teilraumtopologie ein $T_k$-Raum.
\end{lemma}

\begin{theorem}[Lemma von Urysohn]
  Ein Hausdorffraum $(X, \CO)$ ist genau dann normal, wenn zu je zwei disjunkten abgeschlossenen Mengen $A_1, A_2 \subseteq X$ eine stetige Abbildung $f : X \to [0,1]$ mit $f(x) = 0$ für alle $x \in A_1$ und $f(x) = 1$ für alle $x \in A_2$ existiert.
  Eine solche Abbildung heißt \emph{Urysohn-Funktion}.
\end{theorem}

\begin{theorem}[Fortsetzungssatz von Tietze]
  Sei $(X, \CO)$ ein normaler topologischer Raum, $A \subseteq X$ abgeschlossen und $f : A \to \mathbb{R}$ stetig. Dann gibt es eine stetige Abbildung $F : X \to \mathbb{R}$ mit $F\vert_A = f$ (eine \emph{stetige Fortsetzung}).
\end{theorem}