\chapter{Kompaktheit}
\section{Kompaktheit}

\begin{definition}[Kompakter topologischer Raum]
  Sei $(X, \CO)$ ein topologischer Raum.
  \begin{enumerate}
    \item Eine \emph{(offene) Überdeckung} von $(X, \CO)$ ist eine Familie $(O_i)_{i \in I}$ von (offenen) Teilmengen $O_i \subseteq X$ mit $X \subseteq \bigcup_{i \in I} O_i$.
          Ist $J \subseteq I$ eine Teilmenge, sodass auch $(O_i)_{i \in J}$ eine Überdeckung von $X$ ist, so nennt man $(O_i)_{i \in J}$ eine \emph{Teilüberdeckung} von $(O_i)_{i \in J}$.
    \item Der topologische Raum $(X, \CO)$ heißt \emph{kompakt}, wenn jede offene Überdeckung $(O_i)_{i \in I}$ von $X$ eine \emph{endliche Teilüberdeckung} besitzt.
    \item Eine Teilmenge $K \subseteq X$ heißt \emph{kompakt}, wenn sie mit der Teilraumtopologie ein kompakter topologischer Raum ist.
  \end{enumerate}
\end{definition}

\begin{remark}
  Alternativ lässt sich das Konzept der Kompaktheit auch mit abgeschlossenen Mengen formulieren:

  Ein topologischer Raum $(X, \CO)$ ist genau dann kompakt, wenn es zu jeder Familie $(A_i)_{i \in I}$ abgeschlossener Teilmengen $A_i \subseteq X$ mit $\bigcap_{i\in I}A_i = \emptyset$ eine endliche Teilmenge $J \subseteq I$ mit $\bigcap_{i\in J}A_i = \emptyset$ gibt.
\end{remark}

\begin{example}
  \begin{enumerate}
    \item Jede endliche Topologie ergibt einen kompakten Raum.
    \item Die diskrete Topologie auf $X$ ergibt einen kompakten Raum genau dann, wenn $X$ endlich ist.
    \item Die kofinite Topologie liefert immer einen kompakten Raum.
    \item Teilmengen des $\mathbb{R}^n$ mit der Standardtopologie sind nach dem \emph{Satz von Heine-Borel} kompakt genau dann, wenn sie abgeschlossen und beschränkt sind.
    \item Quotienten kompakter topologischer Räume sind kompakt.
    \item Endliche Summen von kompakten topologischen Räumen sind kompakt.
  \end{enumerate}
\end{example}
\begin{lemma}
  In jedem topologischen Raum $(X, \CO_X)$ gilt:
  \begin{enumerate}
    \item Ist $(X, \CO_X)$ hausdorffsch, so sind kompakte Teilmengen $K \subseteq X$ abgeschlossen.
    \item Ist $(X, \CO_X)$ kompakt, so sind abgeschlossene Teilmengen $A \subseteq X$ kompakt.
  \end{enumerate}
\end{lemma}

\begin{theorem}
  Kompakte Hausdorffräume sind normal.
\end{theorem}

\begin{theorem}
  Seien $(X, \CO_X)$ und $(Y, \CO_Y)$ topologische Räume.
  \begin{enumerate}
    \item Ist $f : X \to Y$ stetig und $X$ kompakt, so ist auch das Bild $f(X) \subseteq Y$ kompakt.
    \item Ist $X$ kompakt und $Y$ hausdorffsch, so ist jede stetige Abbildung $f : X \to Y$ abgeschlossen. Insbesondere ist jede stetige Bijektion ein Homöomorphismus.
  \end{enumerate}
\end{theorem}

\section{Kompaktheit in metrischen Räumen}

\section{Der Satz von Tychonoff}

\section{Lokale Kompaktheit}