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\chapter{Konstruktion von Topologischen Räumen}

\section{Initial und Finaltopologie}

\begin{definition}[Initialtopologie]
  Sei $X$ eine Menge und $(Y_i, \CO_i)_{i\in I}$ eine durch $I$ indizierte Familie topologischer Räume.
  Die durch eine Familie $f_i : X \to Y$ induzierte \emph{Initialtopologie} auf $X$ ist die von den Urbildern aller offenen Mengen in $Y_i$ erzeugte Topologie auf $X$:
  \[\CO_{ini} = \langle \bigcup_{i\in I} \{f_i^\mone (O) \;\vert\; O \in \CO_i\}.\]
\end{definition}

\begin{definition}[Finaltopologie]
  Sei $X$ eine Menge und $(Y_i, \CO_i)_{i\in I}$ eine durch $I$ indizierte Familie topologischer Räume.
  Die durch eine Familie $g_i : Y_i \to X$ induzierte \emph{Finaltopologie} auf $X$ besteht aus den Mengen, deren Urbilder offen sind
  \[\CO_{fin} = \{O \subseteq X \;\vert\; g_i^\mone (O) \in \CO_i, \forall i \in I\}.\]
\end{definition}

\begin{theorem}
  Sei $X$ eine Menge, $(Y_i, \CO_i)_{i \in I}$ eine Familie topologischer Räume und $f_i : X \to Y_i$ und $g_i : Y_i \to X$ Familien von Abbildungen.
  \begin{enumerate}
    \item Die durch $(f_i)_{i \in I}$ induzierte Initialtopologie ist die gröbste Topologie auf $X$, für die alle $f_i$ stetig sind.
    \item Sie ist die einzige Topologie, welche folgende \emph{universelle Eigenschaft} erfüllt:
          Eine Abbildung $f : (W , \CO_W) \to (X, \CO_{ini})$ ist stetig genau dann, wenn die Abbildungen $f_i \circ f : (W, \CO_W) \to (Y_i, \CO_i)$ stetig sind für alle $i \in I$.
    \item Die durch $(g_i)_{i \in I}$ induzierte Finaltopologie ist die feinste Topologie auf $X$, für die alle $g_i$ stetig sind.
    \item Sie ist die einzige Topologie, welche folgende \emph{universelle Eigenschaft} erfüllt:
          Eine Abbildung $g : (X , \CO_{fin}) \to (W, \CO_W)$ ist stetig genau dann, wenn die Abbildungen $g_i \circ g : (Y_i, \CO_i) \to (W, \CO_W)$ stetig sind für alle $i \in I$.
  \end{enumerate}
\end{theorem}

\section{Teilräume und Quotienten}

\subsection{Die Teilraumtopologie}

\begin{definition}[Teilraumtopologie]
  Seien $(X, \CO_X), (W, \CO_W)$ topologische Räume, $M \subseteq X$ eine Teilemenge und $\iota : M \to X$ die Inklusionsabbildung.
  \begin{enumerate}
    \item Die \emph{Teilraumtopologie} $\CO_{M\subseteq X}$ (Vgl.\ \autoref{ex:teilraumtopologie}) ist die von $\iota$ induzierte Initialtopologie auf $M$.
    \item Eine Abbildung $f : W \to X$ heißt \emph{Einbettung} von $(W, \CO_W)$ in $(X, \CO_X)$, wenn sie injektiv ist und $\CO_W$ die von $f$ induzierte Initialtopologie auf $W$.
  \end{enumerate}
\end{definition}

\begin{remark}
  \begin{enumerate}
    \item Die Teilraumtopologie auf $M$ ist die gröbste Topologie auf $M$, für die die Inklusionsabbildung stetig ist und es gilt:
          \[\CO_{M\subseteq X} = \{O \cap M \;\vert\; O \in \CO_X\}.\]
    \item Eine injektive Abbildung $f : W \to X$ ist eine Einbettung genau dann, wenn ihre Koeinschränkung $f^{\vert f(W)} : W \to f(W)$ ein Homöomorphismus ist.
  \end{enumerate}
\end{remark}

\begin{theorem}[Universelle Eigenschaft des Teilraums]
  Sei $(X, \CO_X)$ ein topologischer Raum und $M \subseteq X$ eine Teilmenge. Die Teilraumtopologie ist die einzige Topologie mit folgender \emph{universellen Eigenschaft}:

  Die Inklusionsabbildung $\iota : M \to X$ ist stetig und zu jeder stetigen Abbildung $f : (W, \CO_W) \to (X, \CO_X)$ mit $f(W) \subseteq M$ gibt es genau eine stetige Abbildung $\tilde{f} : W \to M$ mit $\iota \circ \tilde{f} = f$.
  % https://q.uiver.app/#q=WzAsMyxbMCwwLCIoVywgXFxDT19XKSJdLFsyLDAsIihNLCBcXENPX3tNIFxcc3Vic2V0ZXEgWH0pIl0sWzIsMiwiKFgsIFxcQ09fWCkiXSxbMCwxLCJcXGV4aXN0cyFcXHRpbGRle2Z9IiwwLHsic3R5bGUiOnsiYm9keSI6eyJuYW1lIjoiZGFzaGVkIn19fV0sWzEsMiwiXFxpb3RhIl0sWzAsMiwiZiJdLFswLDIsImYoVykgXFxzdWJzZXRlcSBNIiwyXV0=
  \[\begin{tikzcd}
      {(W, \CO_W)} && {(M, \CO_{M \subseteq X})} \\
      \\
      && {(X, \CO_X)}
      \arrow["{\exists!\tilde{f}}", dashed, from=1-1, to=1-3]
      \arrow["f", from=1-1, to=3-3]
      \arrow["{f(W) \subseteq M}"', from=1-1, to=3-3]
      \arrow["\iota", from=1-3, to=3-3]
    \end{tikzcd}\]
\end{theorem}

\subsection{Die Quotiententopologie}
\begin{definition}[Quotiententopoloogie]
  Seien $(X, \CO_X)$ und $(Y, \CO_Y)$ topologische Räume, $\sim$ eine Äquivalenzrelation auf $X$ und $\pi : X \to X / \sim, x \mapsto [x]$ die \emph{kanonische Surjektion}.
  \begin{enumerate}
    \item Die \emph{Quotiententopologie} $\CO_\sim$ auf $X / \sim$ ist die von $\pi$ induzierte Finaltopologie auf $X / \sim$.
    \item Eine Abbildung $f : X \to Y$ heißt \emph{Identifizierung}, wenn sie surjektiv ist und $\CO_Y$ die von $f$ induzierte Finaltopologie auf $Y$ ist.
  \end{enumerate}
\end{definition}

\begin{remark}
  \begin{enumerate}
    \item Die Quotiententopologie auf $X / \sim$ ist die feinste Topologie auf $X / \sim$, für die die kanonische Surjektion $\pi : X \to X / \sim$ stetig ist. Es gilt:
          \[\CO_\sim = \{O \subseteq X / \sim \;\vert\; \pi^\mone(X) \in \CO_X\}.\]
    \item Eine surjektive Abbildung $f : X \to Y$ ist eine Identifizierung genau dann, wenn die Abbildung $f' : X/\sim \to Y, [x] \mapsto f(x)$ mit der Äquivalenzrelation $x \sim x' \iff f(x) = f(x')$ ein Homöomorphismus ist.
  \end{enumerate}
\end{remark}

\begin{theorem}[Universelle Eigenschaft des Quotientenraums]
  Sei $(X,CO_X)$ ein topologischer Raum und $\sim$ eine Äquivalenzrelation auf $X$.
  Dann ist der Quotientenraum die einzige Topologie mit der folgenden \emph{universellen Eigenschaft}:

  Die kanonische Surjektion $\pi : X \to X/\sim$ ist stetig und zu jeder stetigen Abbildung $g : X \to Y$ die auf Äquivalenzklassen konstant ist, existiert genau eine stetige Abbildung $\tilde{g} : X/\sim \to Y$ mit $\tilde{g} \circ \pi = g$.
  % https://q.uiver.app/#q=WzAsMyxbMCwwLCIoWSwgXFxDT19ZKSJdLFsyLDAsIihYL1xcc2ltLCBcXENPX1xcc2ltKSJdLFsyLDIsIihYLCBcXENPX1gpIl0sWzIsMSwiXFxwaSIsMl0sWzIsMCwiZyIsMl0sWzEsMCwiXFxleGlzdHMhIFxcdGlsZGV7Z30iLDIseyJzdHlsZSI6eyJib2R5Ijp7Im5hbWUiOiJkYXNoZWQifX19XSxbMiwwLCJnX3tcXHZlcnRbeF19IFxcdGV4dHtrb25zdGFudH0iXV0=
  \[\begin{tikzcd}
      {(Y, \CO_Y)} && {(X/\sim, \CO_\sim)} \\
      \\
      && {(X, \CO_X)}
      \arrow["{\exists! \tilde{g}}"', dashed, from=1-3, to=1-1]
      \arrow["g"', from=3-3, to=1-1]
      \arrow["{g_{\vert[x]} \text{konstant}}", from=3-3, to=1-1]
      \arrow["\pi"', from=3-3, to=1-3]
    \end{tikzcd}\]
\end{theorem}

\begin{remark}
  \begin{enumerate}
    \item Ist $(X, \CO)$ (weg)~zusammenhängend so ist auch $(X/\sim, \CO_\sim)$ (weg)~zusammenhängend.
    \item Quotientenräume erhalten im Allgemeinen nicht die Hausdorffeigenschaft.
  \end{enumerate}
\end{remark}

\section{Produkte und Summen}

\subsection{Die Produkttopologie}

\begin{definition}[Produkttopologie]
  Sei $(X_i, \CO_i)_{i \in I}$  eine Familie topologischer Räume.
  Die \emph{Produkttopologie} auf der Menge $\bigtimes_{i \in I} X_i$ ist die von den Projektionsabbildungen $\pi_j : \bigtimes_{i \in I} X_i \to X_j$ induzierte Initialtopologie auf $\bigtimes_{i \in I} X_i$.
  Man bezeichnet diesen Raum als das Produkt der Räume $(X_i, \CO_i)$ und mit $\prod_{i \in I}X_i$.
\end{definition}

\begin{remark}
  \begin{enumerate}
    \item Die Menge $\CS = \bigcup_{i \in I} \{\pi_i^\mone(O) \;\vert\; O \in \CO_i\}$ ist eine Subbasis von $\prod_{i \in I}X_i$.
    \item Die Menge $\CB = \{\prod_{i \in I} O_i \;\vert\; O_i \in \CO_i, O_i = X_i \text{ für fast alle } i \in I\}$ ist eine Basis von $\prod_{i \in I}X_i$.
    \item Also sind offene Mengen in $\prod_{i \in I}X_i$ Vereinigungen von Mengen der Form $O = \prod_{i \in I}O_i$ mit $O_i \subseteq X_i$ offen und $O_i = X_i$ für fast alle $i \in I$.
  \end{enumerate}
\end{remark}

\begin{example}
  \begin{enumerate}
    \item Für $I = \emptyset$ ist $\prod_{i \in I}X_i$ der Einpunktraum (Vgl.\ \autoref{ex:einpunktraum}).
    \item Seien $(X_1, d_1)$ und $(X_2, d_2)$ metrische Räume, dann ist $d : (X_1 \times X_2) \times (X_1 \times X_2) \to \mathbb{R}$ mit
          \[d((x_1,x_2), (y_1, y_2)) = \max\{d_1(x_1,y_1),d_2(x_2,y_2)\}\]
          eine Metrik auf $X_1 \times X_2$, die \emph{Produktmetrik}.
          Die von der Produktmetrik induzierte metrische Topologie entspricht der Produkttopologie.
          Dies gilt auch für abzählbare Produkte, nicht jedoch für überabzählbare Produkte.
  \end{enumerate}
\end{example}

\begin{theorem}
  Sei $(X_i, \CO_i)_{i \in I}$ eine Familie topologischer Räume. Dann ist $\prod_{i \in I}X_i$ die einzige Topologie mit folgender \emph{universellen Eigenschaft}.
  Die Projektionsabbildungen $\pi_j : \prod_{i \in I}X_i \to X_j$ sind stetig und zu jeder Familie stetige Abbildungen $(f_i)_{i \in I} : W \to X_i$ gibt es genau eine stetige Abbildung $f : W \to \prod_{i \in I}X_i$ mit $\pi_i \circ f = f_i$ für alle $i\in I$.
  % https://q.uiver.app/#q=WzAsMyxbMCwwLCIoVywgXFxDT19XKSJdLFsyLDAsIlxccHJvZF97aSBcXGluIEl9WF9pIl0sWzIsMiwiKFhfaSwgXFxDT19pKSJdLFsxLDIsIlxccGlfaSJdLFswLDIsImZfaSIsMl0sWzAsMSwiXFxleGlzdHMhZiIsMCx7InN0eWxlIjp7ImJvZHkiOnsibmFtZSI6ImRhc2hlZCJ9fX1dXQ==
  \[\begin{tikzcd}
      {(W, \CO_W)} && {\prod_{i \in I}X_i} \\
      \\
      && {(X_i, \CO_i)}
      \arrow["{\exists!f}", dashed, from=1-1, to=1-3]
      \arrow["{f_i}"', from=1-1, to=3-3]
      \arrow["{\pi_i}", from=1-3, to=3-3]
    \end{tikzcd}\]
\end{theorem}

\begin{theorem}
  Sei $(X_i, \CO_i)_{i \in I}$ eine Familie topologischer Räume und $k \in \{0,1,2,3\}$. Dann gilt:
  \begin{enumerate}
    \item Ist $(X_i, \CO_i)$ ein $T_k$-Raum für alle $i \in I$, so ist auch $\prod_{i \in I}X_i$ ein $T_k$-Raum.
    \item Ist $(X_i, \CO_i)$ (weg)~zusammenhängend für alle $i \in I$, so ist auch $\prod_{i \in I}X_i$ (weg)~zusammenhängend.
  \end{enumerate}
\end{theorem}

\subsection{Die Summentopologie}
\begin{definition}[Summentopologie]
  Sei $(X_i, \CO_i)_{i \in I}$  eine Familie topologischer Räume.
  Die \emph{Summentopologie} auf der Menge $\bigsqcup_{i \in I} X_i$ ist die von den Inklusionsabbildungen $\iota_j : X_j \to \bigsqcup_{i \in I} X_i$ induzierte Finaltopologie auf $\bigsqcup_{i \in I} X_i$.
  Man bezeichnet diesen Raum als die Summe der Räume $(X_i, \CO_i)$ und mit $\coprod_{i \in I}X_i$.
\end{definition}

\begin{remark}
  Die Topologie auf $\coprod_{i \in I}X_i$ ist gegeben durch $\CO = \{O \in \bigsqcup_{i \in I} X_i \;\vert\; \iota_i^\mone(O) \in \CO_I, \forall i\in I\}$. Also sind die offenen Mengen in $\coprod_{i \in I}X_i$ gerade die Vereinigungen von Mengen der Form $O_i \times \{ i \}$ für $O_i \in \CO_i$.
\end{remark}

\begin{example}
  Für $I = \emptyset$ ist $\coprod_{i \in I}X_i$ der leere Raum (Vgl.\ \autoref{ex:leererraum}).
\end{example}

\begin{theorem}
  Sei $(X_i, \CO_i)_{i \in I}$ eine Familie topologischer Räume. Dann ist $\coprod_{i \in I}X_i$ die einzige Topologie mit folgender \emph{universellen Eigenschaft}.
  Die Inklusionsabbildungen $\iota_j : X_j \to \coprod_{i \in I}X_i$ sind stetig und zu jeder Familie stetige Abbildungen $(g_i)_{i \in I} : X_i \to W$ gibt es genau eine stetige Abbildung $g : \coprod_{i \in I}X_i \to W$ mit $g \circ \iota_i = g_i$ für alle $i\in I$.
  % https://q.uiver.app/#q=WzAsMyxbMCwwLCIoVywgXFxDT19XKSJdLFsyLDAsIlxcY29wcm9kX3tpIFxcaW4gSX1YX2kiXSxbMiwyLCIoWF9pLCBcXENPX2kpIl0sWzIsMSwiXFxpb3RhX2kiLDJdLFsyLDAsImdfaSJdLFsxLDAsIlxcZXhpc3RzIWciLDIseyJzdHlsZSI6eyJib2R5Ijp7Im5hbWUiOiJkYXNoZWQifX19XV0=
  \[\begin{tikzcd}
      {(W, \CO_W)} && {\coprod_{i \in I}X_i} \\
      \\
      && {(X_i, \CO_i)}
      \arrow["{\exists!g}"', dashed, from=1-3, to=1-1]
      \arrow["{g_i}", from=3-3, to=1-1]
      \arrow["{\iota_i}"', from=3-3, to=1-3]
    \end{tikzcd}\]
\end{theorem}

\begin{theorem}
  Sei $(X_i, \CO_i)_{i \in I}$ eine Familie topologischer Räume und $k \in \{0,1,2,3\}$. Dann gilt:
  \begin{enumerate}
    \item Ist $(X_i, \CO_i)$ ein $T_k$-Raum für alle $i \in I$, so ist auch $\coprod_{i \in I}X_i$ ein $T_k$-Raum.
    \item Gibt es $i \not= j \in I$ mit $X_i, X_j \not= \emptyset$, so ist $\coprod_{i \in I}X_i$ nicht zusammenhängend.
  \end{enumerate}
\end{theorem}

\subsection{Topologische Gruppen}

\begin{definition}[Topologische Gruppe]
  Eine \emph{topologische Gruppe} ist eine Gruppe $(G, \circ)$, zusammen mit einer Topologie $\CO$ auf $G$, sodass die Gruppenmultiplikation und die Inversion stetig sind.
\end{definition}

\subsection{Topologische Vektorräume}

\begin{definition}[Topologischer Vektorraum]
  Ein \emph{topologischer Vektorraum} ist ein Vektorraum $(V, +, \cdot)$ über $\mathbb{R}$ mit einer Topologie $\CO$ auf $V$, sodass die Vektoraddition und die Skalarmultiplikation stetig sind bezüglich $\CO$, und den Produkttopologien $V \times V$ und $\mathbb{R} \times V$.
\end{definition}