\chapter{Topologische Räume}\label{chp:topologies}
\section{Topologien}
\begin{definition}[Topologie]
  Sei $X$ eine Menge. Eine \emph{Topologie} auf $X$ ist eine Teilmenge $\CO \subseteq \CP(X)$ mit folgenden Axiomen:
  \begin{enumerate}
    \item $\emptyset, X \in \CO$.
    \item Vereinigungen von Mengen in $\CO$ sind in $\CO$ enthalten.
    \item Endliche Schnitte von Mengen in $\CO$ sind in $\CO$ enthalten.
  \end{enumerate}
  Die Mengen $O \in \CO$ heißen \emph{offen} und die Mengen $A \in X \setminus \CO$ heißen \emph{abgeschlossen}.
\end{definition}

\begin{lemma}
  Topologien lassen sich auch durch abgeschlossene Mengen charakterisieren, wir erhalten folgenden Definition:
  Eine Topologie auf $X$ ist eine Teilmenge $\CO \subseteq \CP(X)$, sodass folgende Axiome gelten:
  \begin{enumerate}
    \item $\emptyset$ und $X$ sind abgeschlossen.
    \item Schnitte von abgeschlossenen Mengen sind abgeschlossen.
    \item Endliche Vereinigungen von abgeschlossenen Mengen sind abgeschlossen.
  \end{enumerate}
\end{lemma}

\subsection{Die Diskrete und die Indiskrete Topologie}
\begin{example}\label{ex:discrete_top}
  Für jede Menge $X$ nennen wir $\CO_{dsk} := \CP(X)$ die \emph{diskrete Topologie} auf $X$.
  Jede Teilmenge von $X$ ist offen und abgeschlossen bzgl.\ dieser Topologie.
\end{example}

\begin{example}
  Für jede Menge $X$ nennen wir $\CO_{in} := \{\emptyset, X\}$ die \emph{indiskrete Topologie} auf $X$.
\end{example}

\subsection{Die Kofinite und die Koabzählbare Topologie}
\begin{example}
  Für jede Menge $X$ ist $\CO_{kof} := \{O \subseteq X \;\vert\; X \setminus O \text{ endlich, oder } O = \emptyset\}$ die \emph{kofinite Topologie} auf $X$.
\end{example}

\begin{example}
  Für jede Menge $X$ ist $\CO_{koab} := \{O \subseteq X \;\vert\; X \setminus O \text{ abzählbar, oder } O = \emptyset\}$ die \emph{Koabzählbare Topologie} auf $X$.
\end{example}

\subsection{Die Leere und die Einpunkttopologie}
\begin{example}
  Auf der leeren Menge $\emptyset$ gibt es genau eine Topologie, nämlich $\CO_\emptyset := \{\emptyset\}$, die \emph{leere Topologie}.
\end{example}

\begin{example}
  Auf einer einelementigen Menge $\{x\}$ gibt es ebenfalls genau eine Topologie, nämlich $\CO_{\{x\}} := \{\emptyset, \{x\}\} = \CO_{dsk} = \CO_{in}$, der \emph{Einpunktraum}.
\end{example}

\subsection{Die Teilraumtopologie}
\begin{example}
  Sei $(X, \CO_X)$ ein topologischer Raum und $M \subseteq X$ eine Teilmenge.
  Dann erhalten wir eine Topologie auf $M$:
  \[\CO_{M\subseteq X} := \CO_X \cap M = \{O \cap M \;\vert\; O \in \CO_X\}\]
  die \emph{Teilraumtopologie}.
  Offene (abgeschlossene) Mengen in $\CO_{M\subseteq X}$ sind Schnitte offener (abgeschlossener) Mengen in $X$ mit $M$.
\end{example}

\begin{lemma}
  \begin{enumerate}
    \item Ist $M \subseteq X$ offen, so sind alle Teilmengen $A \subseteq M$ die offen bezüglich $\CO_{M\subseteq X}$ sind, auch offen bezüglich $\CO_X$.
    \item Ist $M \subseteq X$ abgeschlossen, so sind alle Teilmengen $A \subseteq M$ die abgeschlossen bezüglich $\CO_{M\subseteq X}$ sind, auch abgeschlossen bezüglich $\CO_X$.
  \end{enumerate}
\end{lemma}

% TODO Praesenzblatt 1 A2c

\subsection{Die Metrische Topologie}
\begin{definition}[Metrischer Raum]
  Ein \emph{metrischer Raum} ist ein Paar $(X,d)$ aus einer Menge $X$ und einer \emph{Metrik} $d : X \times X \to \mathbb{R}$, sodass:
  \begin{enumerate}
    \item \emph{Positivität}: $d(x,y) \geq 0$ und $d(x,y) = 0 \iff x = y$.
    \item \emph{Symmetrie}: $d(x,y) = d(y,x)$.
    \item \emph{Dreiecksungleichung}: $d(x,y) \leq d(x,y) + d(y,z)$.
  \end{enumerate}
\end{definition}

\begin{definition}[Metrische Topologie]
  Sei $(X,d)$ ein metrischer Raum.
  \begin{enumerate}
    \item Für $x \in X$ und $r > 0$ definieren wir die \emph{offene} und die \emph{abgeschlossene} Kugel um $x$:
          \[B_r(x) = \{y \in X \;\vert\; d(x,y) < r\} \qquad B_{\leq r}(x) = \{y \in X \;\vert\; d(x,y) \leq r\}\]
    \item Die \emph{metrische Topologie} auf $X$ ist definiert durch:
          \[\CO_d := \{O \subseteq X \;\vert\; \forall x \in O. \exists \epsilon > 0. B_\epsilon(x) \subseteq O\}.\]
  \end{enumerate}
\end{definition}

\begin{theorem}
  Sei $(X,d)$ ein metrischer Raum, dann gilt:
  \begin{enumerate}
    \item Die metrische Topologie ist eine Topologie auf $X$.
    \item Jedes $B_\epsilon(x)$ ist offen.
    \item Jedes $B_{\leq \epsilon}(x)$ ist abgeschlossen.
  \end{enumerate}
\end{theorem}

\begin{example}[Diskrete Metrik]
  Die \emph{diskrete Metrik} auf $X$ ist definiert durch
  \[d : X \times X \to \mathbb{R}, \qquad d(x,y) = \begin{cases}
      0 & x = y     \\
      1 & x \not= y
    \end{cases}\]
  Die davon induzierte Topologie ist die diskrete Topologie (\autoref{ex:discrete_top}).
\end{example}

\begin{example}[Standardtopologie]
  Jeder normierte Vektorraum $(V, \norm{-})$ über $\mathbb{R}$ ist ein metrischer Raum mit der Metrik
  \[d : V \times V \to \mathbb{R}, \qquad d(x,y) = \norm{x-y}.\]
  Insbesondere ist der $\mathbb{R}^n$ ein metrischer Raum mit der durch die \emph{$p$-Norm}
  \[\norm{x}_p = {(\Sigma_{i=1}^n \vert x_i \vert^p)}^{\frac{1}{p}}\]
  induzierten Metrik.
  Für $p=2$ erhält man so die \emph{euklidische Metrik} auf dem $\mathbb{R}^n$, die zugehörige Topologie nennt man die \emph{Standardtopologie} $\CO_{std}$ auf $\mathbb{R}^n$.
\end{example}

\begin{lemma}
  Sei $(X,d)$ ein metrischer Raum.
  Für jede Teilmenge $M \subseteq X$ mit der Metrik $d\vert_{M \times M}$ stimmt die metrische Topologie mit der Teilraumtopologie überein.
  Insbesondere erhält man so die \emph{Standardtopologie} auf Teilmengen $M \subseteq \mathbb{R}^n$.
\end{lemma}

\begin{theorem}
  Zwei Metriken $d_1, d_2$ auf einer Menge $X$ induzieren genau dann die gleiche Topologie auf $X$, wenn es zu jedem $x \in X$ und jedem $\epsilon > 0$ ein $\delta > 0$ gibt mit
  \[d_1(x,y) < \delta \Rightarrow d_2(x,y) < \epsilon \qquad \land \qquad d_2(x,y) < \delta \Rightarrow d_1(x,y) < \epsilon.\]
  In diesem Fall nennen wir die Metriken \emph{äquivalent}.
\end{theorem}

\subsection{Umgebungen}
\begin{definition}[Umgebung]
  Sei $(X, \CO)$ ein topologischer Raum.
  Eine Menge $U \subseteq X$ heißt \emph{Umgebung} eines Punktes $x \in X$, wenn eine offene Menge $O \in \CO$ existiert mit $x \in O \subseteq U$.
  Die Menge der Umgebungen von $x \in X$ nennen wir $\CU(x)$.
\end{definition}

\begin{remark}
  Für jeden topologischen Raum $(X, \CO)$ und $x \in X$ gilt:
  \begin{enumerate}
    \item Ist $U \in \CU(x)$ so ist auch jedes $V \subseteq U$ eine Umgebung von $x$.
    \item Für jede offene Menge $O \in \CO$ gilt $x \in O \Rightarrow O \in \CU(x)$.
    \item Jede Umgebung von $x$ enthält eine offene Umgebung von $x$.
    \item Vereinigungen von Umgebungen von $x$ sind Umgebungen von $x$.
    \item Endliche Schnitte von Umgebungen von $x$ sind Umgebungen von $x$.
    \item Eine Teilmenge $O \subseteq X$ ist genau dann offen, wenn sie Umgebung aller ihrer Punkte ist.
  \end{enumerate}
\end{remark}

\subsection{Inneres, Abschluss und Rand}
\begin{definition}[Inneres, Abschluss, Rand]
  Sei $(X, \CO)$ ein topologischer Raum.
  \begin{itemize}
    \item Das \emph{Innere} $\inter{M}$ einer Teilmenge $M \subseteq X$ ist:
          \[\inter{M} = \bigcup_{O\in \CO,O\subseteq M} O.\]
    \item Der \emph{Abschluss} $\clos{M}$ einer Teilmenge $M \subseteq X$ ist:
          \[\clos{M} = \bigcap_{A \subseteq X \text{ abg.}, M\subseteq A} A.\]
    \item Der \emph{Rand} $\bound{M}$ einer Teilmenge $M \subseteq X$ ist:
          \[\bound{M} = \clos{M} \setminus \inter{M}.\]
  \end{itemize}
  Eine Teilmenge $M \subseteq X$ heißt \emph{dicht} in $X$, wenn $\clos{M} = X$ und \emph{nirgend dicht} in $X$, wenn $\inter{\clos{M}} = \emptyset$.
\end{definition}

\begin{lemma}
  Es gelten folgende Rechenregeln:
  \[\inter{M} = X \setminus \clos{X \setminus M}\]
  und
  \[\bound{M} = \clos{M} \cap \clos{X \setminus M} = \bound{X \setminus M}.\]
\end{lemma}

\begin{theorem}
  Sei $(X, \CO)$ ein topologischer Raum und $M \subseteq X$ eine Teilmenge. Dann gilt:
  \begin{enumerate}
    \item $\inter{M}$ ist offen, $\inter{M} \subseteq M$ und $\inter{M} = M$ genau dann, wenn $M$ offen ist.
    \item $\clos{M}$ ist abgeschlossen, $M \subseteq \clos{M}$ und $\clos{M} = M$ genau dann, wenn $M$ abgeschlossen ist.
    \item $\bound{M}$ ist abgeschlossen, $\bound{\bound{M}} \subseteq \bound{M}$ und $\bound{\bound{\bound{M}}} = \bound{\bound{M}}$
  \end{enumerate}
\end{theorem}

\begin{theorem}
  Sei $(X, \CO)$ ein topologischer Raum und $M \subseteq X$. Es gilt:
  \begin{enumerate}
    \item $x \in \inter{M} \iff$ Es gibt eine Umgebung $U \in \CU(x)$ mit $U \subseteq M$. $\iff M$ ist eine Umgebung von $x$.
    \item $x \in \clos{M} \iff$ Für jede Umgebung $U \in \CU(x)$ ist $U \cap M \not= \emptyset$. $\iff X \setminus M$ ist keine Umgebung von $x$.
    \item $x \in \bound{M} \iff$ Für alle $U \in \CU(x)$ gilt $U \cap M \not= \emptyset$ und $U \cap (X \setminus M) \not= \emptyset$.
  \end{enumerate}
\end{theorem}

\section{Vergleich und Erzeugung von Topologien}
\subsection{Vergleich von Topologien}
\begin{definition}[Fein- und Grobheit]
  Sei $X$ eine Menge mit Topologien $\CO_1, \CO_2$. Wenn $\CO_2 \subseteq \CO_1$ gilt nennen wir
  \begin{itemize}
    \item $\CO_1$ \emph{feiner} als $\CO_2$
    \item $\CO_2$ \emph{gröber} als $\CO_1$
  \end{itemize}
\end{definition}

\begin{example}[Feinste Topologie]
  Die diskrete Topologie $\CO_{dsk} = \CP(X)$ ist die \emph{feinste} Topologie auf $X$.
\end{example}

\begin{example}[Gröbste Topologie]
  Die indiskrete Topologie $\CO_{ind} = \{\emptyset, X\}$ ist die \emph{gröbste} Topologie auf $X$.
\end{example}

\begin{example}[Kofinite und Standardtopologie]
  Die kofinite Topologie $\CO_{kof}$ auf einer Teilmenge $X \subseteq \mathbb{R}^n$ ist gröber als die Standardtopologie $\CO_{std}$.
\end{example}

\begin{theorem}
  Schnitte von Topologien sind wieder Topologien.
  Der Schnitt von Topologien $\CO_i$ ist gröber als jedes $\CO_i$.
\end{theorem}

\subsection{(Sub-) Basen}
\begin{definition}[Erzeugte Topologie]
  Für jede Teilmenge $\CM \subseteq \CP(X)$ ist die von $\CM$ \emph{erzeugte Topologie} definiert als
  \[\langle \CM \rangle = \bigcap_{\CM \subseteq \CO \subseteq \CP(X), \CO \text{ Topologie}}\CO.\]
\end{definition}

\begin{theorem}
  $\langle \CM \rangle$ ist eine Topologie auf $X$ und zwar die gröbste Topologie die $CM$ enthält.
\end{theorem}

\begin{lemma}
  Für jede Menge $X$ und $\CM \subset \CP(X)$ lässt sich $\langle \CM \rangle$ auch charakterisieren als
  \[\langle \CM \rangle = \{\text{beliebige Vereinigungen von endlichen Schnitten von Mengen in }\CM\}.\]
\end{lemma}

\begin{definition}[(Sub-) Basis]
  Sei $(X, \CO)$ ein topologischer Raum. Eine Teilmenge $\CM \subseteq \CP(X)$ heißt
  \begin{enumerate}
    \item \emph{Subbasis} von $\CO$, wenn $\CO = \langle \CM \rangle$ gilt.
    \item \emph{Basis} von $\CO$, wenn $\CM \subseteq \CO$ und jede Menge in $\CO$ eine Vereinigung von Mengen aus $\CM$ ist.
  \end{enumerate}
  Besitzt $\CO$ eine abzählbare Basis, so sagt man $\CO$ erfülle das \emph{2. Abzählbarkeitsaxiom}.
\end{definition}

\begin{lemma}
  Eine Teilmenge $\CB \subseteq \CP(X)$ ist Basis einer Topologie auf $X$ genau dann, wenn
  \begin{enumerate}
    \item zu jedem $x \in X$ gibt es ein $B \in \CB$ mit $x \in B$,
    \item für alle $B_1, B_2 \in \CB$ und alle $x \in B_1 \cap B_2$ gibt es ein $B_3 \in \CB$ mit $x \in B_3 \subseteq B_1 \cap B_2$.
  \end{enumerate}
\end{lemma}

\begin{example}[Basis der (In-) diskreten Topologie]
  Für jede Menge $X$ ist $\CM = \{ X\}$ eine Basis der indiskreten Topologie und $\CM' = \{\{ x \} \;\vert\; x \in X\}$ eine Basis der diskreten Topologie.
\end{example}

\begin{example}[Basis der Standardtopologie]
  Die Menge $\CM = \{(a,b) \subseteq \mathbb{R} \;\vert\; a < b \in \mathbb{R}\}$ ist eine Basis der Standardtopologie auf $\mathbb{R}$.
  Außerdem ist die Menge $\CM = \{(a,b) \subseteq \mathbb{R} \;\vert\; a < b \in \mathbb{Q}\}$ eine Basis der Standradtopologie auf $\mathbb{R}$, somit erfüllt die Standardtopologie das 2. Abzählbarkeitsaxiom.
\end{example}

\begin{lemma}[Einbettungssatz von Urysohn]
  Erfüllt ein topologischer Raum $(X, \CO)$ das 2. Abzählbarkeitsaxiom, so gibt es eine abzählbare dichte Teilmenge $M \subseteq X$.
\end{lemma}

\section{Stetige Abbildungen}
\begin{definition}[Stetige Abbildung]
  Seien $(X, \CO_X)$ und $(Y, \CO_Y)$ topologische Räume.
  Eine Abbildung $f : X \to Y$ heißt \emph{stetig}, wenn das Urbild jeder offenen Menge offen ist:
  \[O \in \CO_Y \Rightarrow f^{-1}(X) \in \CO_X.\]
\end{definition}

\begin{corollary}
  \begin{enumerate}
    \item Eine Abbildung $f : X \to Y$ ist äquivalenterweise stetig, wenn das Urbild jeder abgeschlossenen Menge abgeschlossen ist:
          \[A \subseteq X \text{ abgeschlossen} \Rightarrow f^{-1}(A) \text{ abgeschlossen}.\]
    \item Eine Abbildung $f : X \to Y$ ist stetig genau dann, wenn für alle Teilmenge $S \subseteq X$ gilt:
          \[ f(\clos{S}) \subseteq \clos{f(S)}. \]
  \end{enumerate}
\end{corollary}

\begin{example}
  Beispiele für stetige Funktionen $f : (X, \CO_X) \to (Y, \CO_Y)$
  \begin{enumerate}
    \item Für $\CO_X = \CO_{dsk} = \CP(X)$ ist jede Abbildung $f : X \to Y$ stetig.
    \item Für $\CO_Y = \CO_{ind} = \{\emptyset, X\}$ ist jede Abbildung $f : X \to Y$ stetig.
    \item Ist $f : X \to Y$ stetig und $M \subseteq X$, so ist auch die Einschränkung $f\vert_{M} : M \to Y$ stetig.
    \item Ist $f : X \to Y$ stetig und $f(X) \subseteq N \subseteq Y$, so ist auch die Koeinschränkung $f^{\vert N} : X \to N$ stetig.
    \item Für beliebige $\CO_X, \CO_Y$ sind alle konstanten Abbildungen stetig.
    \item $id_X : (X, \CO_1) \to (X, \CO_2)$ ist stetig genau dann, wenn $\CO_1$ feiner als $\CO_2$ ist.
    \item Für jeden topologischen Raum $(X, \CO)$ gibt es genau eine stetige Abbildung $f : \emptyset \to X$ und genau eine stetige Abbildung $f : X \to \{ m \}$.
    \item Die Komposition zweier stetiger Abbildungen ist stetig.
  \end{enumerate}
\end{example}

\begin{lemma}
  Ist $\CM$ eine Subbasis von $\CO_Y$, so ist $f : (X, \CO_X) \to (Y, \CO_Y)$ genau dann stetig, wenn $f^\mone(O)$ offen ist für alle $O \in \CM$.
\end{lemma}

\subsection{Homöomorphismen}
\begin{definition}[Homöomorphismus]
  Eine stetige Abbildung $f : X \to Y$ heißt \emph{Homöomorphismus} oder \emph{Isomorphismus von topologischen Räumen},
  wenn sie bijektiv ist und ihre Umkehrabbildung $f^\mone : Y \to X$ ebenfalls stetig ist.
  Dann nennt man die topologischen Räume $(X, \CO_X)$ und $(Y, \CO_Y)$ \emph{homöomorph}.
\end{definition}

\begin{definition}
  Seien $(X, \CO_X)$ und $(Y, \CO_Y)$ topologische Räume.
  \begin{enumerate}
    \item Eine Abbildung $f : X \to Y$ heißt \emph{offen}, wenn das Bild jeder offenen Menge offen ist:
          \[O \in \CO_X \Rightarrow f(O) \in \CO_Y.\]
    \item Eine Abbildung $f : X \to Y$ heißt \emph{abgeschlossen}, wenn das Bild jeder abgeschlossenen Menge abgeschlossen ist:
          \[X \setminus A \in \CO_X \Rightarrow Y \setminus f(A) \in \CO_Y.\]
  \end{enumerate}
\end{definition}

\begin{theorem}
  Für eine stetige Abbildung $f : X \to Y$ sind äquivalent:
  \begin{enumerate}
    \item $f$ ist ein Homöomorphismus.
    \item $f$ ist bijektiv und offen.
    \item $f$ ist bijektiv und abgeschlossen.
  \end{enumerate}
\end{theorem}

\subsection{Folgenstetigkeit}

\begin{definition}[Stetig in einem Punkt]
  Eine Abbildung $f : X \to Y$ heißt \emph{stetig in einem Punkt} $x \in X$, wenn das Urbild jeder Umgebung von $f(x)$ eine Umgebung von $x$ ist:
  \[U \in \CU(f(x)) \Rightarrow f^\mone(U) \in \CU(x).\]
\end{definition}

\begin{theorem}
  Eine Abbildung $f : X \to Y$ ist stetig genau dann, wenn sie stetig in allen $x \in X$ ist.
\end{theorem}

\begin{theorem}
  Für zwei metrische Räume $(X, d_X)$ und $(Y, d_Y)$ ist $f : X \to Y$ genau dann stetig in $x \in X$, wenn:
  \[\forall \epsilon > 0. \exists \delta > 0. f(B_\delta(x)) \subseteq B_\epsilon(f(x)).\]
\end{theorem}

\begin{definition}[Folgenstetigkeit]
  Seien $(X, \CO_X)$ und $(Y, \CO_Y)$ topologische Räume.
  \begin{enumerate}
    \item Ein Punkt $x \in X$ heißt \emph{Häufungspunkt} einer Folge $(x_n)_{n\in\mathbb{N}_0}$ in $X$, wenn es zu jeder Umgebung $U \in \CU(x)$ unendlich viele $n \in \mathbb{N}_0$ gibt mit $x_n \in U$.
    \item Ein Punkt $x \in X$ heißt \emph{Grenzwert} einer Folge $(x_n)_{n\in\mathbb{N}_0}$ in $X$, wenn für jede Umgebung $U \in \CU(x)$ gilt $x_n \in U$ für fast alle $n \in \mathbb{N}_0$.
    \item Eine Abbildung $f : X \to Y$ heißt \emph{folgenstetig in einem Punkt} $x \in X$, wenn für alle konvergenten Folgen $(x_n)_{n \in \mathbb{N}_0}$ mit Grenzwert $x \in X$ die Bildfolge $(f(x_n))_{n \in \mathbb{N}_0}$ konvergent mit Grenzwert $f(x) \in Y$ ist.
    \item Eine Abbildung $f : X \to Y$ heißt \emph{folgenstetig}, wenn sie folgenstetig in allen Punkten $x \in X$ ist.
  \end{enumerate}
\end{definition}

\begin{definition}[1. Abzählbarkeitsaxiom]
  Ein topologischer Raum $(X, \CO)$ erfüllt das \emph{1. Abzählbarkeitsaxiom}, wenn zu jedem Punkt $x \in X$ eine Familie $(U_n)_{n \in \mathbb{N}_0}$ von Umgebungen $U_n \in \CU(x)$ existiert, sodass jede Umgebung $U \in \CU(x)$ eine Umgebung $U_n$ enthält.
  Eine solche Familie von Umgebungen heißt \emph{Umgebungsbasis} im Punkt $x$.
\end{definition}

\begin{lemma}
  \begin{enumerate}
    \item Jeder topologische Raum der das 2. Abzählbarkeitsaxiom erfüllt, erfüllt auch das 1. Abzählbarkeitsaxiom.
    \item Jeder metrische Raum erfüllt das 1. Abzählbarkeitsaxiom.
  \end{enumerate}
\end{lemma}

\begin{theorem}
  Für topologische Räum $(X, \CO_X)$ und $(Y, \CO_Y)$ gilt:
  \begin{enumerate}
    \item Stetige Abbildungen $f : X \to Y$ sind folgenstetig.
    \item Erfüllt $(X, \CO_X)$ das 1. Abzählbarkeitsaxiom, so sind folgenstetige $f : X \to Y$ auch stetig.
  \end{enumerate}
\end{theorem}