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\chapter{Konstruktion von Topologischen Räumen}
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\section{Initial und Finaltopologie}
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\begin{definition}[Initialtopologie]
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Sei $X$ eine Menge und $(Y_i, \CO_i)_{i\in I}$ eine durch $I$ indizierte Familie topologischer Räume.
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Die durch eine Familie $f_i : X \to Y$ induzierte \emph{Initialtopologie} auf $X$ ist die von den Urbildern aller offenen Mengen in $Y_i$ erzeugte Topologie auf $X$:
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\[\CO_{ini} = \langle \bigcup_{i\in I} \{f_i^\mone (O) \;\vert\; O \in \CO_i\}.\]
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\end{definition}
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\begin{definition}[Finaltopologie]
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Sei $X$ eine Menge und $(Y_i, \CO_i)_{i\in I}$ eine durch $I$ indizierte Familie topologischer Räume.
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Die durch eine Familie $g_i : Y_i \to X$ induzierte \emph{Finaltopologie} auf $X$ besteht aus den Mengen, deren Urbilder offen sind
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\[\CO_{fin} = \{O \subseteq X \;\vert\; g_i^\mone (O) \in \CO_i, \forall i \in I\}.\]
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\end{definition}
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\begin{theorem}
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Sei $X$ eine Menge, $(Y_i, \CO_i)_{i \in I}$ eine Familie topologischer Räume und $f_i : X \to Y_i$ und $g_i : Y_i \to X$ Familien von Abbildungen.
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\begin{enumerate}
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\item Die durch $(f_i)_{i \in I}$ induzierte Initialtopologie ist die gröbste Topologie auf $X$, für die alle $f_i$ stetig sind.
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\item Sie ist die einzige Topologie, welche folgende \emph{universelle Eigenschaft} erfüllt:
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Eine Abbildung $f : (W , \CO_W) \to (X, \CO_{ini})$ ist stetig genau dann, wenn die Abbildungen $f_i \circ f : (W, \CO_W) \to (Y_i, \CO_i)$ stetig sind für alle $i \in I$.
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\item Die durch $(g_i)_{i \in I}$ induzierte Finaltopologie ist die feinste Topologie auf $X$, für die alle $g_i$ stetig sind.
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\item Sie ist die einzige Topologie, welche folgende \emph{universelle Eigenschaft} erfüllt:
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Eine Abbildung $g : (X , \CO_{fin}) \to (W, \CO_W)$ ist stetig genau dann, wenn die Abbildungen $g_i \circ g : (Y_i, \CO_i) \to (W, \CO_W)$ stetig sind für alle $i \in I$.
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\end{enumerate}
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\end{theorem}
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\section{Teilräume und Quotienten}
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\subsection{Die Teilraumtopologie}
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\begin{definition}[Teilraumtopologie]
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Seien $(X, \CO_X), (W, \CO_W)$ topologische Räume, $M \subseteq X$ eine Teilemenge und $\iota : M \to X$ die Inklusionsabbildung.
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\begin{enumerate}
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\item Die \emph{Teilraumtopologie} $\CO_{M\subseteq X}$ (Vgl.\ \autoref{ex:teilraumtopologie}) ist die von $\iota$ induzierte Initialtopologie auf $M$.
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\item Eine Abbildung $f : W \to X$ heißt \emph{Einbettung} von $(W, \CO_W)$ in $(X, \CO_X)$, wenn sie injektiv ist und $\CO_W$ die von $f$ induzierte Initialtopologie auf $W$.
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\end{enumerate}
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\end{definition}
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\begin{remark}
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\begin{enumerate}
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\item Die Teilraumtopologie auf $M$ ist die gröbste Topologie auf $M$, für die die Inklusionsabbildung stetig ist und es gilt:
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\[\CO_{M\subseteq X} = \{O \cap M \;\vert\; O \in \CO_X\}.\]
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\item Eine injektive Abbildung $f : W \to X$ ist eine Einbettung genau dann, wenn ihre Koeinschränkung $f^{\vert f(W)} : W \to f(W)$ ein Homöomorphismus ist.
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\end{enumerate}
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\end{remark}
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\begin{theorem}[Universelle Eigenschaft des Teilraums]
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Sei $(X, \CO_X)$ ein topologischer Raum und $M \subseteq X$ eine Teilmenge. Die Teilraumtopologie ist die einzige Topologie mit folgender \emph{universellen Eigenschaft}:
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Die Inklusionsabbildung $\iota : M \to X$ ist stetig und zu jeder stetigen Abbildung $f : (W, \CO_W) \to (X, \CO_X)$ mit $f(W) \subseteq M$ gibt es genau eine stetige Abbildung $\tilde{f} : W \to M$ mit $\iota \circ \tilde{f} = f$.
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\[\begin{tikzcd}
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{(W, \CO_W)} && {(M, \CO_{M \subseteq X})} \\
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\\
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&& {(X, \CO_X)}
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\arrow["{\exists!\tilde{f}}", dashed, from=1-1, to=1-3]
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\arrow["f", from=1-1, to=3-3]
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\arrow["{f(W) \subseteq M}"', from=1-1, to=3-3]
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\arrow["\iota", from=1-3, to=3-3]
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\end{tikzcd}\]
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\end{theorem}
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\subsection{Die Quotiententopologie}
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\begin{definition}[Quotiententopoloogie]
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Seien $(X, \CO_X)$ und $(Y, \CO_Y)$ topologische Räume, $\sim$ eine Äquivalenzrelation auf $X$ und $\pi : X \to X / \sim, x \mapsto [x]$ die \emph{kanonische Surjektion}.
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\begin{enumerate}
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\item Die \emph{Quotiententopologie} $\CO_\sim$ auf $X / \sim$ ist die von $\pi$ induzierte Finaltopologie auf $X / \sim$.
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\item Eine Abbildung $f : X \to Y$ heißt \emph{Identifizierung}, wenn sie surjektiv ist und $\CO_Y$ die von $f$ induzierte Finaltopologie auf $Y$ ist.
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\end{enumerate}
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\end{definition}
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\begin{remark}
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\begin{enumerate}
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\item Die Quotiententopologie auf $X / \sim$ ist die feinste Topologie auf $X / \sim$, für die die kanonische Surjektion $\pi : X \to X / \sim$ stetig ist. Es gilt:
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\[\CO_\sim = \{O \subseteq X / \sim \;\vert\; \pi^\mone(X) \in \CO_X\}.\]
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\item Eine surjektive Abbildung $f : X \to Y$ ist eine Identifizierung genau dann, wenn die Abbildung $f' : X/\sim \to Y, [x] \mapsto f(x)$ mit der Äquivalenzrelation $x \sim x' \iff f(x) = f(x')$ ein Homöomorphismus ist.
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\end{enumerate}
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\end{remark}
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\begin{theorem}[Universelle Eigenschaft des Quotientenraums]
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Sei $(X,CO_X)$ ein topologischer Raum und $\sim$ eine Äquivalenzrelation auf $X$.
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Dann ist der Quotientenraum die einzige Topologie mit der folgenden \emph{universellen Eigenschaft}:
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Die kanonische Surjektion $\pi : X \to X/\sim$ ist stetig und zu jeder stetigen Abbildung $g : X \to Y$ die auf Äquivalenzklassen konstant ist, existiert genau eine stetige Abbildung $\tilde{g} : X/\sim \to Y$ mit $\tilde{g} \circ \pi = g$.
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\[\begin{tikzcd}
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{(Y, \CO_Y)} && {(X/\sim, \CO_\sim)} \\
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\\
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&& {(X, \CO_X)}
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\arrow["{\exists! \tilde{g}}"', dashed, from=1-3, to=1-1]
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\arrow["g"', from=3-3, to=1-1]
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\arrow["{g_{\vert[x]} \text{konstant}}", from=3-3, to=1-1]
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\arrow["\pi"', from=3-3, to=1-3]
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\end{tikzcd}\]
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\end{theorem}
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\begin{remark}
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\begin{enumerate}
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\item Ist $(X, \CO)$ (weg)~zusammenhängend so ist auch $(X/\sim, \CO_\sim)$ (weg)~zusammenhängend.
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\item Quotientenräume erhalten im Allgemeinen nicht die Hausdorffeigenschaft.
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\end{enumerate}
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\end{remark}
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\section{Produkte und Summen}
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\subsection{Die Produkttopologie}
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\begin{definition}[Produkttopologie]
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Sei $(X_i, \CO_i)_{i \in I}$ eine Familie topologischer Räume.
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Die \emph{Produkttopologie} auf der Menge $\bigtimes_{i \in I} X_i$ ist die von den Projektionsabbildungen $\pi_j : \bigtimes_{i \in I} X_i \to X_j$ induzierte Initialtopologie auf $\bigtimes_{i \in I} X_i$.
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Man bezeichnet diesen Raum als das Produkt der Räume $(X_i, \CO_i)$ und mit $\prod_{i \in I}X_i$.
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\end{definition}
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\begin{remark}
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\begin{enumerate}
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\item Die Menge $\CS = \bigcup_{i \in I} \{\pi_i^\mone(O) \;\vert\; O \in \CO_i\}$ ist eine Subbasis von $\prod_{i \in I}X_i$.
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\item Die Menge $\CB = \{\prod_{i \in I} O_i \;\vert\; O_i \in \CO_i, O_i = X_i \text{ für fast alle } i \in I\}$ ist eine Basis von $\prod_{i \in I}X_i$.
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\item Also sind offene Mengen in $\prod_{i \in I}X_i$ Vereinigungen von Mengen der Form $O = \prod_{i \in I}O_i$ mit $O_i \subseteq X_i$ offen und $O_i = X_i$ für fast alle $i \in I$.
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\end{enumerate}
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\end{remark}
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\begin{example}
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\begin{enumerate}
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\item Für $I = \emptyset$ ist $\prod_{i \in I}X_i$ der Einpunktraum (Vgl.\ \autoref{ex:einpunktraum}).
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\item Seien $(X_1, d_1)$ und $(X_2, d_2)$ metrische Räume, dann ist $d : (X_1 \times X_2) \times (X_1 \times X_2) \to \mathbb{R}$ mit
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\[d((x_1,x_2), (y_1, y_2)) = \max\{d_1(x_1,y_1),d_2(x_2,y_2)\}\]
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eine Metrik auf $X_1 \times X_2$, die \emph{Produktmetrik}.
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Die von der Produktmetrik induzierte metrische Topologie entspricht der Produkttopologie.
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Dies gilt auch für abzählbare Produkte, nicht jedoch für überabzählbare Produkte.
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\end{enumerate}
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\end{example}
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\begin{theorem}
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Sei $(X_i, \CO_i)_{i \in I}$ eine Familie topologischer Räume. Dann ist $\prod_{i \in I}X_i$ die einzige Topologie mit folgender \emph{universellen Eigenschaft}.
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Die Projektionsabbildungen $\pi_j : \prod_{i \in I}X_i \to X_j$ sind stetig und zu jeder Familie stetige Abbildungen $(f_i)_{i \in I} : W \to X_i$ gibt es genau eine stetige Abbildung $f : W \to \prod_{i \in I}X_i$ mit $\pi_i \circ f = f_i$ für alle $i\in I$.
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\[\begin{tikzcd}
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{(W, \CO_W)} && {\prod_{i \in I}X_i} \\
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\\
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&& {(X_i, \CO_i)}
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\arrow["{\exists!f}", dashed, from=1-1, to=1-3]
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\arrow["{f_i}"', from=1-1, to=3-3]
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\arrow["{\pi_i}", from=1-3, to=3-3]
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\end{tikzcd}\]
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\end{theorem}
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\begin{theorem}
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Sei $(X_i, \CO_i)_{i \in I}$ eine Familie topologischer Räume und $k \in \{0,1,2,3\}$. Dann gilt:
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\begin{enumerate}
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\item Ist $(X_i, \CO_i)$ ein $T_k$-Raum für alle $i \in I$, so ist auch $\prod_{i \in I}X_i$ ein $T_k$-Raum.
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\item Ist $(X_i, \CO_i)$ (weg)~zusammenhängend für alle $i \in I$, so ist auch $\prod_{i \in I}X_i$ (weg)~zusammenhängend.
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\end{enumerate}
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\end{theorem}
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\subsection{Die Summentopologie}
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\begin{definition}[Summentopologie]
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Sei $(X_i, \CO_i)_{i \in I}$ eine Familie topologischer Räume.
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Die \emph{Summentopologie} auf der Menge $\bigsqcup_{i \in I} X_i$ ist die von den Inklusionsabbildungen $\iota_j : X_j \to \bigsqcup_{i \in I} X_i$ induzierte Finaltopologie auf $\bigsqcup_{i \in I} X_i$.
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Man bezeichnet diesen Raum als die Summe der Räume $(X_i, \CO_i)$ und mit $\coprod_{i \in I}X_i$.
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\end{definition}
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\begin{remark}
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Die Topologie auf $\coprod_{i \in I}X_i$ ist gegeben durch $\CO = \{O \in \bigsqcup_{i \in I} X_i \;\vert\; \iota_i^\mone(O) \in \CO_I, \forall i\in I\}$. Also sind die offenen Mengen in $\coprod_{i \in I}X_i$ gerade die Vereinigungen von Mengen der Form $O_i \times \{ i \}$ für $O_i \in \CO_i$.
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\end{remark}
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\begin{example}
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Für $I = \emptyset$ ist $\coprod_{i \in I}X_i$ der leere Raum (Vgl.\ \autoref{ex:leererraum}).
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\end{example}
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\begin{theorem}
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Sei $(X_i, \CO_i)_{i \in I}$ eine Familie topologischer Räume. Dann ist $\coprod_{i \in I}X_i$ die einzige Topologie mit folgender \emph{universellen Eigenschaft}.
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Die Inklusionsabbildungen $\iota_j : X_j \to \coprod_{i \in I}X_i$ sind stetig und zu jeder Familie stetige Abbildungen $(g_i)_{i \in I} : X_i \to W$ gibt es genau eine stetige Abbildung $g : \coprod_{i \in I}X_i \to W$ mit $g \circ \iota_i = g_i$ für alle $i\in I$.
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% https://q.uiver.app/#q=WzAsMyxbMCwwLCIoVywgXFxDT19XKSJdLFsyLDAsIlxcY29wcm9kX3tpIFxcaW4gSX1YX2kiXSxbMiwyLCIoWF9pLCBcXENPX2kpIl0sWzIsMSwiXFxpb3RhX2kiLDJdLFsyLDAsImdfaSJdLFsxLDAsIlxcZXhpc3RzIWciLDIseyJzdHlsZSI6eyJib2R5Ijp7Im5hbWUiOiJkYXNoZWQifX19XV0=
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\[\begin{tikzcd}
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{(W, \CO_W)} && {\coprod_{i \in I}X_i} \\
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\\
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&& {(X_i, \CO_i)}
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\arrow["{\exists!g}"', dashed, from=1-3, to=1-1]
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\arrow["{g_i}", from=3-3, to=1-1]
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\arrow["{\iota_i}"', from=3-3, to=1-3]
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\end{tikzcd}\]
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\end{theorem}
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\begin{theorem}
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Sei $(X_i, \CO_i)_{i \in I}$ eine Familie topologischer Räume und $k \in \{0,1,2,3\}$. Dann gilt:
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\begin{enumerate}
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\item Ist $(X_i, \CO_i)$ ein $T_k$-Raum für alle $i \in I$, so ist auch $\coprod_{i \in I}X_i$ ein $T_k$-Raum.
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\item Gibt es $i \not= j \in I$ mit $X_i, X_j \not= \emptyset$, so ist $\coprod_{i \in I}X_i$ nicht zusammenhängend.
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\end{enumerate}
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\end{theorem}
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\subsection{Topologische Gruppen}
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\begin{definition}[Topologische Gruppe]
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Eine \emph{topologische Gruppe} ist eine Gruppe $(G, \circ)$, zusammen mit einer Topologie $\CO$ auf $G$, sodass die Gruppenmultiplikation und die Inversion stetig sind.
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\end{definition}
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\subsection{Topologische Vektorräume}
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\begin{definition}[Topologischer Vektorraum]
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Ein \emph{topologischer Vektorraum} ist ein Vektorraum $(V, +, \cdot)$ über $\mathbb{R}$ mit einer Topologie $\CO$ auf $V$, sodass die Vektoraddition und die Skalarmultiplikation stetig sind bezüglich $\CO$, und den Produkttopologien $V \times V$ und $\mathbb{R} \times V$.
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\end{definition}
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