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\chapter{Zusammenhang und Trennung}
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\section{Zusammenhang}
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\begin{definition}[(Lokal) Zusammenhängende Räume]
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Ein topologischer Raum $(X, \CO_X)$ heißt
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\begin{enumerate}
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\item \emph{zusammenhängend}, wenn er keine disjunkte Zerlegung in zwei nichtleere offene Teilmengen besitzt:
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\[X = O_1 \cup O_2 \text{ mit } O_1, O_2 \in \CO_X, O_1 \cap O_2 = \emptyset \Rightarrow O_1 = \emptyset \text{ oder } O_2 = \emptyset\]
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\item \emph{lokal zusammenhängend}, wenn jede Umgebung eines Punktes $x \in X$ eine zusammenhängende Umgebung von $x$ enthält.
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\end{enumerate}
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\end{definition}
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\begin{lemma}
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Ein topologischer Raum $(X, \CO_X)$ ist genau dann zusammenhängend, wenn eine der folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt ist:
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\begin{enumerate}
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\item $X$ besitzt keine disjunkte Zerlegung in zwei nichtleere abgeschlossene Teilmengen
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\item $X$ und $\emptyset$ sind die einzigen Teilmengen von $X$, die offen und abgeschlossen sind.
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\end{enumerate}
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\end{lemma}
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\begin{example}
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Eine Teilmenge $M \subseteq \mathbb{R}$ mit der Standardtopologie ist genau dann zusammenhängend, wenn sie ein Intervall ist.
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\end{example}
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\begin{theorem}
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\begin{enumerate}
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\item Ist $(X, \CO_X)$ zusammenhängend und $f : X \to Y$ stetig, so ist auch das Bild $f(X) \subseteq Y$ zusammenhängend.
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\item Vereinigungen von disjunkten zusammenhängenden Teilmengen sind zusammenhängend.
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\end{enumerate}
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\end{theorem}
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% TODO
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\section{Trennung von Punkten}
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\begin{definition}[Trennungsaxiome]
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Ein topologischer Raum $(X, \CO)$ heißt:
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\begin{enumerate}
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\item \emph{$T_0$-Raum}, wenn zu je zwei verschiedenen $x_1, x_2 \in X$ eine offene Menge $O \in \CO$ existiert, die nur eine von beiden Punkten enthält
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\item \emph{$T_1$-Raum}, wenn zu je zwei verschiedenen $x_1, x_2 \in X$ eine offene Menge $O \in \CO$ existiert, die $x_1$ enthält, aber nicht $x_2$ enthält
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\item \emph{$T_2$-Raum} oder \emph{Hausdorffraum}, wenn zu je zwei verschiedenen $x_1, x_2 \in X$ disjunkte offene Teilmenge $O_1, O_2 \subseteq X$ existieren mit $x_1 \in O_1, x_2 \in O_2$
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\item \emph{$T_3$-Raum}, wenn zu jedem Punkt $x \in X$ und jeder abgeschlossenen Menge $A \subseteq X$ mit $x \not\in A$ disjunkte offene Teilmengen $O_x, O_A \subseteq X$ existieren mit $x \in O_x, A \subseteq O_A$
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\item \emph{$T_4$-Raum}, wenn zu je zwei disjunkten abgeschlossenen Teilmengen $A_1, A_2 \subseteq X$ disjunkte offene Teilmengen $O_1, O_2 \subseteq X$ existieren mit $A_1 \subseteq O_1, A_2 \subseteq O_2$
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\item \emph{regulärer Raum}, wenn er ein $T_1$-Raum und ein $T_3$-Raum ist
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\item \emph{normaler Raum}, wenn er ein $T_2$-Raum und ein $T_4$-Raum ist.
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\end{enumerate}
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\end{definition}
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\begin{remark}
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Die Bedingung an einen $T_1$-Raum ist äquivalent zu der Forderung, dass einelementige Teilmengen von $X$ abgeschlossen sind.
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\end{remark}
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\begin{remark}
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Es gilt:
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\[(X, \CO) \text{ normal } \Rightarrow (X, \CO) \text{ regulär}.\]
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\end{remark}
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\begin{example}
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Jeder metrische Raum mit der metrischen Topologie ist normal.
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\end{example}
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\begin{lemma}
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Wenn ein topologischer Raum $(X, \CO)$ das 2. Abzählbarkeitsaxiom erfüllt gilt:
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\[(X, \CO) \text{ regulär } \Rightarrow (X, \CO) \text{ normal}.\]
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\end{lemma}
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\begin{lemma}
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Sei $(X, \CO)$ ein $T_k$-Raum mit $k \in \{0,1,2,3\}$. Dann ist auch jede Teilmenge $M \subseteq X$ mit der Teilraumtopologie ein $T_k$-Raum.
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\end{lemma}
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\begin{theorem}[Lemma von Urysohn]
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Ein Hausdorffraum $(X, \CO)$ ist genau dann normal, wenn zu je zwei disjunkten abgeschlossenen Mengen $A_1, A_2 \subseteq X$ eine stetige Abbildung $f : X \to [0,1]$ mit $f(x) = 0$ für alle $x \in A_1$ und $f(x) = 1$ für alle $x \in A_2$ existiert.
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Eine solche Abbildung heißt \emph{Urysohn-Funktion}.
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\end{theorem}
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\begin{theorem}[Fortsetzungssatz von Tietze]
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Sei $(X, \CO)$ ein normaler topologischer Raum, $A \subseteq X$ abgeschlossen und $f : A \to \mathbb{R}$ stetig. Dann gibt es eine stetige Abbildung $F : X \to \mathbb{R}$ mit $F\vert_A = f$ (eine \emph{stetige Fortsetzung}).
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\end{theorem} |