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% ..............................................................................
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% Demo of the fau-beamer template.
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%
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% Copyright 2022 by Tim Roith <tim.roith@fau.de>
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%
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% This program can be redistributed and/or modified under the terms
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% of the GNU Public License, version 2.
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%
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% ------------------------------------------------------------------------------
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\documentclass[final]{beamer}
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% ========================================================================================
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% Theme: inner, outer, font and colors
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% ----------------------------------------------------------------------------------------
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\usepackage[institute=Tech,
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%SecondLogo = template-art/FAUWortmarkeBlau.pdf,
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%ThirdLogo = template-art/FAUWortmarkeBlau.pdf,
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%WordMark=None,
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aspectratio=169,
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fontsize=11,
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fontbaselineskip=13,
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scale=1.
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]{styles/beamerthemefau}
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% ----------------------------------------------------------------------------------------
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% Input and output encoding
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\usepackage[T1]{fontenc}
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\usepackage[utf8]{inputenc}
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% ----------------------------------------------------------------------------------------
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% Language settings
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\usepackage[german]{babel}
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% ========================================================================================
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% Fonts
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% - Helvet is loaded by styles/beamerfonts
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% - We use serif for math environements
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% - isomath is used for upGreek letters
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% ----------------------------------------------------------------------------------------
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\usepackage{isomath}
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%\usefonttheme[onlymath]{serif}
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\usepackage{mathpartir}
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\usepackage{exscale}
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\usepackage{anyfontsize}
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\setbeamercolor{alerted text}{fg=BaseColor}
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% ----------------------------------------------------------------------------------------
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% custom commands for symbols
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\usepackage{styles/symbols}
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\usepackage{tikz-cd}
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\usetikzlibrary{cd, babel}
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% ========================================================================================
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% Setup for Titlepage
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% ----------------------------------------------------------------------------------------
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\title[fau-beamer]{Theorie der Programmierung}
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\subtitle{\texorpdfstring{Übung 06 - der (ungetypte) $\lambda$-Kalkül II}{Übung 06 - der (ungetypte) Lambda-Kalkül II}}
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\author[L. Vatthauer]{
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Leon Vatthauer}
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%
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% Instead of \institute you can also use the \thanks command
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% ------------------------------------------------
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%\author[T. Roith]{
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%Tim Roith\thanks{Friedrich-Alexander Universität Erlangen-Nürnberg, Department Mathematik}\and%
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%Second Author\thanks{Second Insitute}\and%
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%Third Author\thanks{Third Insitute}%
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%}
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\date{\today}
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% ================================================
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% Bibliography
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% ------------------------------------------------
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\usepackage{csquotes}
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\usepackage[style=alphabetic, %alternatively: numeric, numeric-comp, and other from biblatex
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defernumbers=true,
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useprefix=true,%
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giveninits=true,%
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hyperref=true,%
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autocite=inline,%
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maxcitenames=5,%
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maxbibnames=20,%
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uniquename=init,%
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sortcites=true,% sort citations when multiple entries are passed to one cite command
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doi=true,%
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isbn=false,%
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url=false,%
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eprint=false,%
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backend=biber%
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]{biblatex}
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\addbibresource{bibliography.bib}
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\setbeamertemplate{bibliography item}[text]
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\babeltags{en=english}
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% ================================================
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% Hyperref and setup
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% ------------------------------------------------
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\usepackage{hyperref}
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\hypersetup{
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colorlinks = true,
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final=true,
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plainpages=false,
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pdfstartview=FitV,
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pdftoolbar=true,
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pdfmenubar=true,
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pdfencoding=auto,
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psdextra,
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bookmarksopen=true,
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bookmarksnumbered=true,
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breaklinks=true,
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||
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|
linktocpage=true,
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|
urlcolor=BaseColor,
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citecolor=BaseColor,
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|
linkcolor=BaseColor,
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unicode = true
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}
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% ================================================
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% Additional packages
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% ------------------------------------------------
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\usepackage{listings}
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\usepackage{lstautogobble} % Fix relative indenting
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\usepackage{color} % Code coloring
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\usepackage{zi4} % Nice font
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\definecolor{bluekeywords}{rgb}{0.13, 0.13, 1}
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\definecolor{greencomments}{rgb}{0, 0.5, 0}
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||
|
|
\definecolor{redstrings}{rgb}{0.9, 0, 0}
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||
|
|
\definecolor{graynumbers}{rgb}{0.5, 0.5, 0.5}
|
||
|
|
\lstset{
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|
autogobble=true,
|
||
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|
columns=fullflexible,
|
||
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|
showspaces=false,
|
||
|
|
showtabs=false,
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||
|
|
breaklines=true,
|
||
|
|
showstringspaces=false,
|
||
|
|
breakatwhitespace=true,
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|
escapeinside={(*@}{@*)},
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|
commentstyle=\color{greencomments},
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|
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keywordstyle=\color{bluekeywords},
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||
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|
stringstyle=\color{redstrings},
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|
|
numberstyle=\color{graynumbers},
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basicstyle=\ttfamily\normalsize,
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mathescape=true,
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%frame=l,
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framesep=12pt,
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|
xleftmargin=.1\textwidth,%12pt,
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tabsize=4,
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captionpos=b
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}
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% end of listings setup
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% ================================================
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% Various custom commands
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% ------------------------------------------------
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%\setbeameroption{show notes on second screen}
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\begingroup\expandafter\expandafter\expandafter\endgroup
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\expandafter\ifx\csname pdfsuppresswarningpagegroup\endcsname\relax
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\else
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\pdfsuppresswarningpagegroup=1\relax
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|
|
\fi
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% Change color for cite locally
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\newcommand{\colorcite}[3]{{\hypersetup{citecolor=#1}{\cite[#2]{#3}}}}
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% ------------------------------------------------
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% ================================================
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% The main document
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% ------------------------------------------------
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\begin{document}
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% Title page
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\begin{frame}[t,titleimage]{-}
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\titlepage%
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\end{frame}
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\newcommand{\isaeq}{=_\alpha^?}
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\newcommand{\isbr}{\rightarrow_\beta^?}
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\newcommand{\betared}{\rightarrow_\beta}
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\newcommand{\alphaeq}{=_\alpha}
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|
\newcommand{\deltared}{\rightarrow_\delta}
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|
\newcommand{\etared}{\rightarrow_\eta}
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|
\newcommand{\betadeltared}{\rightarrow_{\beta\delta}^*}
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\newcommand{\ceil}[1]{\lceil {#1} \rceil}
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\newcommand{\definitionAlphaEq}{
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\begin{block}{$\alpha$-Äquivalenz}
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Zwei Terme $t_1, t_2$ heißen $\alpha$-Äquivalent, wenn sie durch Umbenennung gebundener Variablen auseinander hervorgehen. Formal:
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$$\lambda x.t \alphaeq \lambda y.t[y / x]\quad\text{wenn } y \not\in FV(t)$$
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\end{block}
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}
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\newcommand{\definitionBetaReduction}{
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\begin{block}{$\beta$-Reduktion}
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Die $\beta$-Reduktion modelliert das Ausrechnen einer Funktionsanwendung, z.B: $(\lambda x.3 + x)\, 5 \betared 3 + 5$
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Die Einschrittreduktion $\betared$ ist:
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$$C((\lambda x.t)\,s) \rightarrow_\beta C(t[s / x])$$
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\end{block}
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}
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\newcommand{\churchnumerals}{
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\begin{block}{Church-Numerale}
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\begin{equation*}\ceil{n} := \lambda f\,a.\underbrace{f(f(f(\ldots f}_n\, a)))\tag{1}\end{equation*}
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\noindent
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|
\begin{minipage}{0.45\textwidth}
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||
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|
\begin{align*}
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|
&zero = \lambda f\,a.a\\
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||
|
|
&succ\,n = \lambda f\,a.f\,(n\,f\,a)
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||
|
|
\end{align*}
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||
|
|
\end{minipage}
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||
|
|
\begin{minipage}{0.45\textwidth}
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||
|
|
\begin{alignat*}{2}
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||
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|
&one &&= succ\,zero\\
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|
&two &&= succ\,one\\
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&three &&= succ\,two\\
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|
&four &&= succ\,three
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|
\end{alignat*}
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|
\end{minipage}
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|
\end{block}
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}
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|
\AtBeginSection{}
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\lstset{
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|
morekeywords={if, then, else}
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|
}
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% Introduction
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\section{Church-Numerale}
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\begin{frame}[t, fragile]{Church-Numerale}
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|
Wir betrachten erneut die Church-Kodierung natürlicher Zahlen vom vorigen Übungsblatt:
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$$\ceil{n} := \lambda f\,a.\,\underbrace{f(f(f(\ldots f}_{n}\,a)))$$
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|
mit einheitlicher Kodierung
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|
\noindent
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||
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|
\begin{minipage}{.45\textwidth}
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||
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|
\begin{lstlisting}
|
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|
|
zero = $\lambda$ f a. a
|
||
|
|
succ n = $\lambda$ f a. f (n f a)
|
||
|
|
\end{lstlisting}
|
||
|
|
\end{minipage}
|
||
|
|
\begin{minipage}{.45\textwidth}
|
||
|
|
\begin{lstlisting}
|
||
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|
one = succ zero
|
||
|
|
two = succ one
|
||
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three = succ two
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four = succ three
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||
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|
\end{lstlisting}
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|
\end{minipage}
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|
sowie den Operationen \texttt{add} und \texttt{mult} mit der entsprechenden Semantik.
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\\\;\\
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|
\textbf{Notation: } Von nun an schreiben wir \texttt{s + t} und \texttt{s * t} anstelle von \texttt{add s t} und \texttt{mult s t} und verwenden die $\beta\delta$-Regeln
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|
\[
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||
|
|
\ceil{n} + \ceil{m} \betadeltared \ceil{n + m} \qquad\qquad\qquad \ceil{n} * \ceil{m} \betadeltared \ceil{n \cdot m}
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||
|
|
\]
|
||
|
|
\end{frame}
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||
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||
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\section{Aufgabe 1 - Church-Kodierung von Booleans}
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\begin{frame}[t]{Aufgabe 1.1}{Church-Kodierung von Booleans}
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|
Boolesche Wahrheitswerte werden als $\lambda$-Terme wie folgt definiert:
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\begin{alignat*}{2}
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&true &&= \lambda x\,y.\,x\\
|
||
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&false &&= \lambda x\,y.\,y\\
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||
|
|
&ite &&= \lambda b\,x\,y.\,b\,x\,y
|
||
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|
\end{alignat*}
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\,\\
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Zeigen Sie, das für alle $\lambda$-Terme $s$ und $t$ gilt:
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\centering
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$$ite\,true\,s\,t \betadeltared s\quad\quad\quad\quad\quad\quad ite\,false\,s\,t \betadeltared t$$
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||
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|
\end{frame}
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||
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|
||
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\begin{frame}[t]{Aufgabe 1.2}{Church-Kodierung von Booleans}
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||
|
|
Boolesche Wahrheitswerte werden als $\lambda$-Terme wie folgt definiert:
|
||
|
|
\begin{alignat*}{2}
|
||
|
|
&true &&= \lambda x\,y.\,x\\
|
||
|
|
&false &&= \lambda x\,y.\,y\\
|
||
|
|
&ite &&= \lambda b\,x\,y.\,b\,x\,y
|
||
|
|
\end{alignat*}
|
||
|
|
\,\\
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||
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|
Vervollständigen Sie die folgenden Funktionsdefinitionen so, dass sie (unter normaler Reduktion) boolesche Negation, exklusives Oder und Implikation berechnen:
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|
\begin{alignat*}{2}
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|
¬\,b &&= \ldots\\
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||
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|
&xor\,b1\,b2 &&= \ldots\\
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||
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|
&imp\,b1\,b2 &&= \ldots
|
||
|
|
\end{alignat*}
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||
|
|
\,\\
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||
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|
\textbf{Notation: } Von nun an schreiben wir „\textbf{if} $s$ \textbf{then} $t$ \textbf{else} $u$“ anstelle von „$ite\; s\; t\; u$“
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||
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|
\end{frame}
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||
|
|
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||
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|
\section{Aufgabe 2 - Rekursive Definitionen}
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\begin{frame}[t]{Aufgabe 2}{Rekursive Definitionen}
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In den meisten funktionalen Programmiersprachen sind \textit{rekursive} Funktionsdefinitionen zulässig, das heißt, die definierte Funktion darf auf der rechten Seite einer solchen Funktionsdefinition vorkommen.
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Rekursive Funktionsdefinitionen entsprechen - wie in Übung 2, Blatt 5 - $\delta$-Reduktionen.
|
||
|
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\\\,\\
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||
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|
\textbf{Hinweis.}\quad Nehmen Sie an, dass die Subtraktion von natürlichen Zahlen (in Form von Church-Numeralen) im $\lambda$-Kalkül darstellbar ist, d.h. für $n \geq 1$ gilt $\ceil{n} - \ceil{1} \betadeltared \ceil{n - 1}$,
|
||
|
|
und dass ebenso die üblichen Vergleichsoperationen möglich sind, d.h. $\ceil{n} \leq \ceil{1} \leftrightarrow_{\beta\delta}^* true$, wenn $n \leq 1$ usw. Siehe dazu Aufgabe 4.
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|
|
\end{frame}
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||
|
|
|
||
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|
\newcommand{\hintone}{
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|
\begin{block}{Hinweis}
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|
\centering
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|
$\ceil{n} - \ceil{1} \betadeltared \ceil{n - 1}$ für $n \geq 1$
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\[
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||
|
|
\ceil{n} \leq \ceil{m} \leftrightarrow_{\beta\delta}^*
|
||
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|
\begin{cases}
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||
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|
true & \text{falls } n \leq m\\
|
||
|
|
false & \text{sonst}
|
||
|
|
\end{cases}
|
||
|
|
\]
|
||
|
|
\[
|
||
|
|
\ceil{n} == \ceil{m} \leftrightarrow_{\beta\delta}^*
|
||
|
|
\begin{cases}
|
||
|
|
true & \text{falls } n = m\\
|
||
|
|
false & \text{sonst}
|
||
|
|
\end{cases}
|
||
|
|
\]
|
||
|
|
\end{block}
|
||
|
|
}
|
||
|
|
|
||
|
|
\begin{frame}[t, fragile]{Aufgabe 2.1}{Rekursive Definitionen}
|
||
|
|
|
||
|
|
Wir betrachten die folgende rekursive Funktion:
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||
|
|
\begin{lstlisting}
|
||
|
|
fact n = if n $\leq$ $\ceil{1}$ then $\ceil{1}$ else n * (fact (n - $\ceil{1}$))
|
||
|
|
\end{lstlisting}
|
||
|
|
\,\\
|
||
|
|
Zeigen Sie, dass $fact \ceil{3} \betadeltared \ceil{6}$.
|
||
|
|
\\\vfill
|
||
|
|
\hintone
|
||
|
|
\end{frame}
|
||
|
|
|
||
|
|
\begin{frame}[t, fragile]{Aufgabe 2.2}{Rekursive Definitionen}
|
||
|
|
|
||
|
|
Schreiben Sie eine rekursive Funktion $odd$, sodass:
|
||
|
|
\[
|
||
|
|
odd\,\ceil{n} = \begin{cases}
|
||
|
|
true & \text{falls } n \text{ gerade}\\
|
||
|
|
false & \text{sonst}
|
||
|
|
\end{cases}
|
||
|
|
\]
|
||
|
|
\hintone
|
||
|
|
\end{frame}
|
||
|
|
|
||
|
|
\begin{frame}[t, fragile]{Aufgabe 2.3}{Rekursive Definitionen}
|
||
|
|
|
||
|
|
Schreiben Sie eine rekursive Funktion $halve$, sodass:
|
||
|
|
\begin{lstlisting}[]
|
||
|
|
($\ceil{2}$ * halve $\ceil{n}$) + (if odd $\ceil{n}$ then $\ceil{1}$ else $\ceil{0}$) $\betadeltared$ $\ceil{n}$
|
||
|
|
\end{lstlisting}
|
||
|
|
\hintone
|
||
|
|
\end{frame}
|
||
|
|
|
||
|
|
\newcommand{\reductionstrats}{
|
||
|
|
\noindent\centering
|
||
|
|
\begin{minipage}{.48\textwidth}
|
||
|
|
\begin{block}{Applikative Reduktion $\rightarrow_a$}
|
||
|
|
\begin{itemize}
|
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\item $(\lambda x.t)\,s \rightarrow_a t[s/x]$, wenn $t$ und $s$ normal
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|
\item $\lambda x.t \rightarrow_a \lambda x.t'$, wenn $t \rightarrow_a t'$
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|
\item $t\,s \rightarrow_a t'\,s$, wenn $t \rightarrow_a t'$\\\,\\
|
||
|
|
\item $t\,s \rightarrow_a t\,s'$, wenn $s \rightarrow_a s'$ und $t$ normal\\\,\\
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\end{itemize}
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|
\end{block}
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|
\end{minipage}
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\begin{minipage}{.48\textwidth}
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\begin{block}{Normale Reduktion $\rightarrow_n$}
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\begin{itemize}
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|
\item $(\lambda x.t)\,s \rightarrow_n t[s/x]$
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|
\item $\lambda x.t \rightarrow_n \lambda x.t'$, wenn $t \rightarrow_n t'$
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||
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|
\item $t\,s \rightarrow_n t'\,s$, wenn $t \rightarrow_n t'$ und $t$ keine $\lambda$-Abstraktion
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|
|
\item $t\,s \rightarrow_n t\,s'$, wenn $s \rightarrow_n s'$ und $t$ normal und keine $\lambda$-Abstraktion
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\end{itemize}
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\end{block}
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\end{minipage}
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}
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\section{Aufgabe 3 - Auswertungsstrategien}
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\begin{frame}[t]{Aufgabe 3}{Auswertungsstrategien}
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In der Vorlesung haben Sie verschiedene Reduktionsstrategien für den ungetypten $\lambda$-Kalkül kennengelernt.
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Diese unterscheiden sich hauptsächlich in den Zeitpunkten, zu denen $\beta$-Redexe \textit{kontrahiert} werden, also wann in einem Term die $\beta$-Regel angewandt wird.
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\vfill
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\reductionstrats
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\end{frame}
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\begin{frame}[t]{Aufgabe 3.1}{Auswertungsstrategien}
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Welcher Redex im $\lambda$-Term
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\begin{enumerate}
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\item[(a)] $(\lambda x.\lambda y.\,y\,(\lambda z.\,x))\,(u\, u)\,(\lambda v.\,v\,((\lambda w.\,w)\,(\lambda w.\,w)))$
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\item[(b)] $(\lambda u.\,u\,(\lambda y.\,z))\,(\lambda x.\,x\,((\lambda v.\,v)\,w))$
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\end{enumerate}
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|
muss nicht kontrahiert werden, um die Normalform zu erreichen? Reduzieren Sie den Term durch $\beta\delta$-Reduktion zur Normalform, ohne diesen Redex zu kontrahieren.
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\vfill
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\reductionstrats
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|
\end{frame}
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\begin{frame}[t]{Aufgabe 3.2}{Auswertungsstrategien}
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Wir schreiben wie aus der Vorlesung bekannt $I = (\lambda x.\,x)$ und $\Omega = (\lambda x.\,x\,x)$.
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Reduzieren Sie den Term $\lambda f.\,f\,I\,(\Omega\,\Omega)(\lambda x\,y.\,x\,x)$ mittels
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\begin{enumerate}
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\item[(a)] applikativer Reduktion,
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|
\item[(b)] normaler Reduktion.
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\end{enumerate}
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|
Unterstreichen Sie in jedem Schritt den zu reduzierenden Redex. Betrachten Sie in dieser Aufgabe $\delta$-Reduktion als explizite Schritte!
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\vfill
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|
\reductionstrats
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|
\end{frame}
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\begin{frame}[t, fragile]{Aufgabe 3.3 a)}{Auswertungsstrategien}
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|
Man erinnere sich an folgende auf Church-Kodierungen definierten Funktionen:
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\lstset{
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morecomment=[f][\color{greencomments}][0]{--}
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|
}
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|
\begin{minipage}{.2\textwidth}
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||
|
|
\begin{lstlisting}
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|
|
-- Allgemein
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twice = $\lambda$f x. f (f x)
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||
|
|
\end{lstlisting}
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||
|
|
\end{minipage}
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||
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|
\begin{minipage}{.25\textwidth}
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||
|
|
\begin{lstlisting}
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||
|
|
-- Church-Booleans
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|
|
true = $\lambda$ x y. x
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|
|
false = $\lambda$ x y. y
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|
|
\end{lstlisting}
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||
|
|
\end{minipage}
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||
|
|
\begin{minipage}{.45\textwidth}
|
||
|
|
\begin{lstlisting}
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||
|
|
-- Church-Paare
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|
pair = $\lambda$ a b select. select a b
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||
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|
fst = $\lambda$ p. p ($\lambda$ x y. x)
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||
|
|
snd = $\lambda$ p. p ($\lambda$ x y. y)
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|
|
\end{lstlisting}
|
||
|
|
\end{minipage}
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||
|
|
|
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|
|
Geben Sie die ersten fünf $\beta\delta$-Reduktionsschritte des Terms
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\begin{lstlisting}
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|
twice fst (pair (pair true false) true)
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||
|
|
\end{lstlisting}
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||
|
|
unter \textbf{a) normaler} und b) applikativer Reduktion an. Markieren Sie (durch Unterstreichen) in jedem Schritt den zu reduzierenden Redex.
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\begin{block}{Normale Reduktion $\rightarrow_n$}
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\begin{itemize}
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|
\item $(\lambda x.t)\,s \rightarrow_n t[s/x]$
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||
|
|
\item $\lambda x.t \rightarrow_n \lambda x.t'$, wenn $t \rightarrow_n t'$
|
||
|
|
\item $t\,s \rightarrow_n t'\,s$, wenn $t \rightarrow_n t'$ und $t$ keine $\lambda$-Abstraktion
|
||
|
|
\item $t\,s \rightarrow_n t\,s'$, wenn $s \rightarrow_n s'$ und $t$ normal und keine $\lambda$-Abstraktion
|
||
|
|
\end{itemize}
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||
|
|
\end{block}
|
||
|
|
\end{frame}
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|
\begin{frame}[t, fragile]{Aufgabe 3.3 b)}{Auswertungsstrategien}
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||
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||
|
|
Man erinnere sich an folgende auf Church-Kodierungen definierten Funktionen:
|
||
|
|
|
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|
|
\lstset{
|
||
|
|
morecomment=[f][\color{greencomments}][0]{--}
|
||
|
|
}
|
||
|
|
\begin{minipage}{.2\textwidth}
|
||
|
|
\begin{lstlisting}
|
||
|
|
-- Allgemein
|
||
|
|
twice = $\lambda$f x. f (f x)
|
||
|
|
\end{lstlisting}
|
||
|
|
\end{minipage}
|
||
|
|
\begin{minipage}{.25\textwidth}
|
||
|
|
\begin{lstlisting}
|
||
|
|
-- Church-Booleans
|
||
|
|
true = $\lambda$ x y. x
|
||
|
|
false = $\lambda$ x y. y
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||
|
|
\end{lstlisting}
|
||
|
|
\end{minipage}
|
||
|
|
\begin{minipage}{.45\textwidth}
|
||
|
|
\begin{lstlisting}
|
||
|
|
-- Church-Paare
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||
|
|
pair = $\lambda$ a b select. select a b
|
||
|
|
fst = $\lambda$ p. p ($\lambda$ x y. x)
|
||
|
|
snd = $\lambda$ p. p ($\lambda$ x y. y)
|
||
|
|
\end{lstlisting}
|
||
|
|
\end{minipage}
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||
|
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|
|
Geben Sie die ersten fünf $\beta\delta$-Reduktionsschritte des Terms
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\begin{lstlisting}
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|
twice fst (pair (pair true false) true)
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||
|
|
\end{lstlisting}
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|
|
unter a) normaler und \textbf{b) applikativer} Reduktion an. Markieren Sie (durch Unterstreichen) in jedem Schritt den zu reduzierenden Redex.
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|
\begin{block}{Applikative Reduktion $\rightarrow_a$}
|
||
|
|
\begin{itemize}
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|
|
\item $(\lambda x.t)\,s \rightarrow_a t[s/x]$, wenn $t$ und $s$ normal
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|
|
\item $\lambda x.t \rightarrow_a \lambda x.t'$, wenn $t \rightarrow_a t'$
|
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|
|
\item $t\,s \rightarrow_a t'\,s$, wenn $t \rightarrow_a t'$
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||
|
|
\item $t\,s \rightarrow_a t\,s'$, wenn $s \rightarrow_a s'$ und $t$ normal
|
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|
|
\end{itemize}
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|
|
\end{block}
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|
|
\end{frame}
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|
% input exmple sections
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%\input{sections/01_Intro_Landscape}
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\end{document}
|