\item\emph{zusammenhängend}, wenn er keine disjunkte Zerlegung in zwei nichtleere offene Teilmengen besitzt:
\[X = O_1\cup O_2\text{ mit } O_1, O_2\in\CO_X, O_1\cap O_2=\emptyset\Rightarrow O_1=\emptyset\text{ oder } O_2=\emptyset.\]
\item\emph{lokal zusammenhängend}, wenn jede Umgebung eines Punktes $x \in X$ eine zusammenhängende Umgebung von $x$ enthält.
\end{enumerate}
\end{definition}
\begin{lemma}
Ein topologischer Raum $(X, \CO_X)$ ist genau dann zusammenhängend, wenn eine der folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt ist:
\begin{enumerate}
\item$X$ besitzt keine disjunkte Zerlegung in zwei nichtleere abgeschlossene Teilmengen
\item$X$ und $\emptyset$ sind die einzigen Teilmengen von $X$, die offen und abgeschlossen sind.
\end{enumerate}
\end{lemma}
\begin{example}
Eine Teilmenge $M \subseteq\mathbb{R}$ mit der Standardtopologie ist genau dann zusammenhängen, wenn sie ein Intervall ist.
\end{example}
\begin{theorem}
\begin{enumerate}
\item Ist $(X, \CO_X)$ zusammenhängend und $f : X \to Y$ stetig, so ist auch das Bild $f(X)\subseteq Y$ zusammenhängend.
\item Vereinigungen von disjunkten zusammenhängenden Teilmengen sind zusammenhängend.
\end{enumerate}
\end{theorem}
TODO
\section{Trennung von Punkten}
\begin{definition}[Trennungsaxiome]
Ein topologischer Raum $(X, \CO)$ heißt:
\begin{enumerate}
\item\emph{$T_0$-Raum}, wenn zu je zwei verschiedenen $x_1, x_2\in X$ eine offene Menge $O \in\CO$ existert, die nur eine von beiden Punkten enthält.
\item\emph{$T_1$-Raum}, wenn zu je zwei verschiedenen $x_1, x_2\in X$ eine offene Menge $O \in\CO$ existiert, die $x_1$ enthält, aber nicht $x_2$ enthält.
\item\emph{$T_2$-Raum} oder \emph{Hausdorffraum}, wenn zu je zwei verschiedenen $x_1, x_2\in X$ disjunkte offene Teilmenge $O_1, O_2\subseteq X$ existieren mit $x_1\in O_1, x_2\in O_2$.
\item\emph{$T_3$-Raum}, wenn zu jedem Punkt $x \in X$ und jeder abgeschlossenen Menge $A \subseteq X$ mit $x \not\in A$ disjunkte offene Teilmengen $O_x, O_A \subseteq X$ existieren mit $x \in O_x, A \subseteq O_A$.
\item\emph{$T_4$-Raum}, wenn zu je zwei disjunkten abgeschlossenen Teilmengen $A_1, A_2\subseteq X$ disjunkte offene Teilmengen $O_1, O_2\subseteq X$ existieren mit $A_1\subseteq O_1, A_2\subseteq O_2$.
\item\emph{regulärer Raum}, wenn er ein $T_1$-Raum und ein $T_3$-Raum ist.
\item\emph{normaler Raum}, wenn er ein $T_2$-Raum und ein $T_4$-Raum ist.
\end{enumerate}
\end{definition}
\begin{remark}
Die Bedingung an einen $T_1$-Raum ist äquivalent zu der Forderung, dass einelementige Teilmengen von $X$ abgeschlossen sind.
\end{remark}
\begin{remark}
Es gilt:
\[(X, \CO)\text{ normal }\Rightarrow(X, \CO)\text{ regulär}.\]
\end{remark}
\begin{example}
Jeder metrische Raum mit der metrischen Topologie ist normal.
\end{example}
\begin{lemma}
Wenn ein topologischer Raum $(X, \CO)$ das 2. Abzählbarkeitsaxiom erfüllt gilt:
Sei $(X, \CO)$ ein $T_k$-Raum mit $k \in\{0,1,2,3\}$. Dann ist auch jede Teilmenge $M \subseteq X$ mit der Teilraumtopologie ein $T_k$-Raum.
\end{lemma}
\begin{theorem}[Lemma von Urysohn]
Ein Hausdorffraum $(X, \CO)$ ist genau dann normal, wenn zu je zwei disjunkten abgeschlossenen Mengen $A_1, A_2\subseteq X$ eine stetige Abbildung $f : X \to[0,1]$ mit $f(x)=0$ für alle $x \in A_1$ und $f(x)=1$ für alle $x \in A_2$ existiert.
Eine solche Abbildung heißt \emph{Urysohn-Funktion}.
\end{theorem}
\begin{theorem}[Fortsetzungssatz von Tietze]
Sei $(X, \CO)$ ein normaler topologischer Raum, $A \subseteq X$ abgeschlossen und $f : A \to\mathbb{R}$ stetig. Dann gibt es eine stetige Abbildung $F : X \to\mathbb{R}$ mit $F\vert_A = f$ (eine \emph{stetige Fortsetzung}).
