Sei $X$ eine Menge und $(Y_i, \CO_i)_{i\in I}$ eine durch $I$ indizierte Familie topologischer Räume.
Die durch eine Familie $f_i : X \to Y$ induzierte \emph{Initialtopologie} auf $X$ ist die von den Urbildern aller offenen Mengen in $Y_i$ erzeugte Topologie auf $X$:
\[\CO_{ini}=\langle\bigcup_{i\in I}\{f_i^\mone(O)\;\vert\; O \in\CO_i\}.\]
\end{definition}
\begin{definition}[Finaltopologie]
Sei $X$ eine Menge und $(Y_i, \CO_i)_{i\in I}$ eine durch $I$ indizierte Familie topologischer Räume.
Die durch eine Familie $g_i : Y_i \to X$ induzierte \emph{Finaltopologie} auf $X$ besteht aus den Mengen, deren Urbilder offen sind
\[\CO_{fin}=\{O \subseteq X \;\vert\; g_i^\mone(O)\in\CO_i, \forall i \in I\}.\]
\end{definition}
\begin{theorem}
Sei $X$ eine Menge, $(Y_i, \CO_i)_{i \in I}$ eine Familie topologischer Räume und $f_i : X \to Y_i$ und $g_i : Y_i \to X$ Familien von Abbildungen.
\begin{enumerate}
\item Die durch $(f_i)_{i \in I}$ induzierte Initialtopologie ist die gröbste Topologie auf $X$, für die alle $f_i$ stetig sind.
\item Sie ist die einzige Topologie, welche folgende \emph{universelle Eigenschaft} erfüllt:
Eine Abbildung $f : (W , \CO_W)\to(X, \CO_{ini})$ ist stetig genau dann, wenn die Abbildungen $f_i \circ f : (W, \CO_W)\to(Y_i, \CO_i)$ stetig sind für alle $i \in I$.
\item Die durch $(g_i)_{i \in I}$ induzierte Finaltopologie ist die feinste Topologie auf $X$, für die alle $g_i$ stetig sind.
\item Sie ist die einzige Topologie, welche folgende \emph{universelle Eigenschaft} erfüllt:
Eine Abbildung $g : (X , \CO_{fin})\to(W, \CO_W)$ ist stetig genau dann, wenn die Abbildungen $g_i \circ g : (Y_i, \CO_i)\to(W, \CO_W)$ stetig sind für alle $i \in I$.
Seien $(X, \CO_X), (W, \CO_W)$ topologische Räume, $M \subseteq X$ eine Teilemenge und $\iota : M \to X$ die Inklusionsabbildung.
\begin{enumerate}
\item Die \emph{Teilraumtopologie}$\CO_{M\subseteq X}$ (Vgl.\ \autoref{ex:teilraumtopologie}) ist die von $\iota$ induzierte Initialtopologie auf $M$.
\item Eine Abbildung $f : W \to X$ heißt \emph{Einbettung} von $(W, \CO_W)$ in $(X, \CO_X)$, wenn sie injektiv ist und $\CO_W$ die von $f$ induzierte Initialtopologie auf $W$.
\end{enumerate}
\end{definition}
\begin{remark}
\begin{enumerate}
\item Die Teilraumtopologie auf $M$ ist die gröbste Topologie auf $M$, für die die Inklusionsabbildung stetig ist und es gilt:
\[\CO_{M\subseteq X}=\{O \cap M \;\vert\; O \in\CO_X\}.\]
\item Eine injektive Abbildung $f : W \to X$ ist eine Einbettung genau dann, wenn ihre Koeinschränkung $f^{\vert f(W)} : W \to f(W)$ ein Homöomorphismus ist.
\end{enumerate}
\end{remark}
\begin{theorem}[Universelle Eigenschaft des Teilraums]
Sei $(X, \CO_X)$ ein topologischer Raum und $M \subseteq X$ eine Teilmenge. Die Teilraumtopologie ist die einzige Topologie mit folgender \emph{universellen Eigenschaft}:
Die Inklusionsabbildung $\iota : M \to X$ ist stetig und zu jeder stetigen Abbildung $f : (W, \CO_W)\to(X, \CO_X)$ mit $f(W)\subseteq M$ gibt es genau eine stetige Abbildung $\tilde{f} : W \to M$ mit $\iota\circ\tilde{f}= f$.
Seien $(X, \CO_X)$ und $(Y, \CO_Y)$ topologische Räume, $\sim$ eine Äquivalenzrelation auf $X$ und $\pi : X \to X /\sim, x \mapsto[x]$ die \emph{kanonische Surjektion}.
\begin{enumerate}
\item Die \emph{Quotiententopologie}$\CO_\sim$ auf $X /\sim$ ist die von $\pi$ induzierte Finaltopologie auf $X /\sim$.
\item Eine Abbildung $f : X \to Y$ heißt \emph{Identifizierung}, wenn sie surjektiv ist und $\CO_Y$ die von $f$ induzierte Finaltopologie auf $Y$ ist.
\end{enumerate}
\end{definition}
\begin{remark}
\begin{enumerate}
\item Die Quotiententopologie auf $X /\sim$ ist die feinste Topologie auf $X /\sim$, für die die kanonische Surjektion $\pi : X \to X /\sim$ stetig ist. Es gilt:
\[\CO_\sim=\{O \subseteq X /\sim\;\vert\;\pi^\mone(X)\in\CO_X\}.\]
\item Eine surjektive Abbildung $f : X \to Y$ ist eine Identifizierung genau dann, wenn die Abbildung $f' : X/\sim\to Y, [x]\mapsto f(x)$ mit der Äquivalenzrelation $x \sim x' \iff f(x)= f(x')$ ein Homöomorphismus ist.
\end{enumerate}
\end{remark}
\begin{theorem}[Universelle Eigenschaft des Quotientenraums]
Sei $(X,CO_X)$ ein topologischer Raum und $\sim$ eine Äquivalenzrelation auf $X$.
Dann ist der Quotientenraum die einzige Topologie mit der folgenden \emph{universellen Eigenschaft}:
Die kanonische Surjektion $\pi : X \to X/\sim$ ist stetig und zu jeder stetigen Abbildung $g : X \to Y$ die auf Äquivalenzklassen konstant ist, existiert genau eine stetige Abbildung $\tilde{g} : X/\sim\to Y$ mit $\tilde{g}\circ\pi= g$.
Sei $(X_i, \CO_i)_{i \in I}$ eine Familie topologischer Räume.
Die \emph{Produkttopologie} auf der Menge $\bigtimes_{i \in I} X_i$ ist die von den Projektionsabbildungen $\pi_j : \bigtimes_{i \in I} X_i \to X_j$ induzierte Initialtopologie auf $\bigtimes_{i \in I} X_i$.
Man bezeichnet diesen Raum als das Produkt der Räume $(X_i, \CO_i)$ und mit $\prod_{i \in I}X_i$.
\end{definition}
\begin{remark}
\begin{enumerate}
\item Die Menge $\CS=\bigcup_{i \in I}\{\pi_i^\mone(O)\;\vert\; O \in\CO_i\}$ ist eine Subbasis von $\prod_{i \in I}X_i$.
\item Die Menge $\CB=\{\prod_{i \in I} O_i \;\vert\; O_i \in\CO_i, O_i = X_i \text{ für fast alle } i \in I\}$ ist eine Basis von $\prod_{i \in I}X_i$.
\item Also sind offene Mengen in $\prod_{i \in I}X_i$ Vereinigungen von Mengen der Form $O =\prod_{i \in I}O_i$ mit $O_i \subseteq X_i$ offen und $O_i = X_i$ für fast alle $i \in I$.
\end{enumerate}
\end{remark}
\begin{example}
\begin{enumerate}
\item Für $I =\emptyset$ ist $\prod_{i \in I}X_i$ der Einpunktraum (Vgl.\ \autoref{ex:einpunktraum}).
\item Seien $(X_1, d_1)$ und $(X_2, d_2)$ metrische Räume, dann ist $d : (X_1\times X_2)\times(X_1\times X_2)\to\mathbb{R}$ mit
eine Metrik auf $X_1\times X_2$, die \emph{Produktmetrik}.
Die von der Produktmetrik induzierte metrische Topologie entspricht der Produkttopologie.
Dies gilt auch für abzählbare Produkte, nicht jedoch für überabzählbare Produkte.
\end{enumerate}
\end{example}
\begin{theorem}
Sei $(X_i, \CO_i)_{i \in I}$ eine Familie topologischer Räume. Dann ist $\prod_{i \in I}X_i$ die einzige Topologie mit folgender \emph{universellen Eigenschaft}.
Die Projektionsabbildungen $\pi_j : \prod_{i \in I}X_i \to X_j$ sind stetig und zu jeder Familie stetige Abbildungen $(f_i)_{i \in I} : W \to X_i$ gibt es genau eine stetige Abbildung $f : W \to\prod_{i \in I}X_i$ mit $\pi_i \circ f = f_i$ für alle $i\in I$.
Sei $(X_i, \CO_i)_{i \in I}$ eine Familie topologischer Räume und $k \in\{0,1,2,3\}$. Dann gilt:
\begin{enumerate}
\item Ist $(X_i, \CO_i)$ ein $T_k$-Raum für alle $i \in I$, so ist auch $\prod_{i \in I}X_i$ ein $T_k$-Raum.
\item Ist $(X_i, \CO_i)$ (weg)~zusammenhängend für alle $i \in I$, so ist auch $\prod_{i \in I}X_i$ (weg)~zusammenhängend.
\end{enumerate}
\end{theorem}
\subsection{Die Summentopologie}
\begin{definition}[Summentopologie]
Sei $(X_i, \CO_i)_{i \in I}$ eine Familie topologischer Räume.
Die \emph{Summentopologie} auf der Menge $\bigsqcup_{i \in I} X_i$ ist die von den Inklusionsabbildungen $\iota_j : X_j \to\bigsqcup_{i \in I} X_i$ induzierte Finaltopologie auf $\bigsqcup_{i \in I} X_i$.
Man bezeichnet diesen Raum als die Summe der Räume $(X_i, \CO_i)$ und mit $\coprod_{i \in I}X_i$.
\end{definition}
\begin{remark}
Die Topologie auf $\coprod_{i \in I}X_i$ ist gegeben durch $\CO=\{O \in\bigsqcup_{i \in I} X_i \;\vert\;\iota_i^\mone(O)\in\CO_I, \forall i\in I\}$. Also sind die offenen Mengen in $\coprod_{i \in I}X_i$ gerade die Vereinigungen von Mengen der Form $O_i \times\{ i \}$ für $O_i \in\CO_i$.
\end{remark}
\begin{example}
Für $I =\emptyset$ ist $\coprod_{i \in I}X_i$ der leere Raum (Vgl.\ \autoref{ex:leererraum}).
\end{example}
\begin{theorem}
Sei $(X_i, \CO_i)_{i \in I}$ eine Familie topologischer Räume. Dann ist $\coprod_{i \in I}X_i$ die einzige Topologie mit folgender \emph{universellen Eigenschaft}.
Die Inklusionsabbildungen $\iota_j : X_j \to\coprod_{i \in I}X_i$ sind stetig und zu jeder Familie stetige Abbildungen $(g_i)_{i \in I} : X_i \to W$ gibt es genau eine stetige Abbildung $g : \coprod_{i \in I}X_i \to W$ mit $g \circ\iota_i = g_i$ für alle $i\in I$.
Sei $(X_i, \CO_i)_{i \in I}$ eine Familie topologischer Räume und $k \in\{0,1,2,3\}$. Dann gilt:
\begin{enumerate}
\item Ist $(X_i, \CO_i)$ ein $T_k$-Raum für alle $i \in I$, so ist auch $\coprod_{i \in I}X_i$ ein $T_k$-Raum.
\item Gibt es $i \not= j \in I$ mit $X_i, X_j \not=\emptyset$, so ist $\coprod_{i \in I}X_i$ nicht zusammenhängend.
\end{enumerate}
\end{theorem}
\subsection{Topologische Gruppen}
\begin{definition}[Topologische Gruppe]
Eine \emph{topologische Gruppe} ist eine Gruppe $(G, \circ)$, zusammen mit einer Topologie $\CO$ auf $G$, sodass die Gruppenmultiplikation und die Inversion stetig sind.
\end{definition}
\subsection{Topologische Vektorräume}
\begin{definition}[Topologischer Vektorraum]
Ein \emph{topologischer Vektorraum} ist ein Vektorraum $(V, +, \cdot)$ über $\mathbb{R}$ mit einer Topologie $\CO$ auf $V$, sodass die Vektoraddition und die Skalarmultiplikation stetig sind bezüglich $\CO$, und den Produkttopologien $V \times V$ und $\mathbb{R}\times V$.
