finish chp3

tex/.vscode/ltex.dictionary.de-DE.txt

@@ -1,3 +1,21 @@
 Kofinite
 Koabzählbare
 kofinite
+Initialtopologie
+Finaltopologie
+Pullback
+Pushout
+Vatthauer
+Koeinschränkung
+Folgenstetigkeit
+folgenstetig
+folgenstetige
+Hausdorffraum
+Urysohn-Funktion
+Inklusionsabbildung
+Quotiententopologie
+Quotientenräume
+Tychonoff
+Summentopologie
+Inklusionsabbildungen
+Produkttopologien

tex/.vscode/ltex.hiddenFalsePositives.de-DE.txt

@@ -1 +1,6 @@
 {"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\Q[(T3)] Endliche Schnitte von Mengen in \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q sind in \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q enthalten.\\E$"}
+{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\Q[cases] mycase Fall . Fall (): \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q subcases\\E$"}
+{"rule":"COMMA_PARENTHESIS_WHITESPACE","sentence":"^\\Q[cases] mycase Fall . Fall (): \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q subcases\\E$"}
+{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\Q=1em\\E$"}
+{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QDer Abschluss \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q einer Teilmenge \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q ist: \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q abg.\\E$"}
+{"rule":"GERMAN_WORD_REPEAT_BEGINNING_RULE","sentence":"^\\QDie kofinite Topologie \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q auf einer Teilmenge \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q ist gröber als die Standardtopologie \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"}

tex/main.tex

@@ -149,5 +149,5 @@
 
 \appendix
 \emergencystretch=1em
-\printbibliography[heading=bibintoc]{}
+% \printbibliography[heading=bibintoc]{}
 \end{document}

tex/sections/01_topräume.tex

@@ -1,3 +1,4 @@
+% chktex-file 3
 \chapter{Topologische Räume}\label{chp:topologies}
 \section{Topologien}
 \begin{definition}[Topologie]
@@ -40,16 +41,16 @@
 \end{example}
 
 \subsection{Die Leere und die Einpunkttopologie}
-\begin{example}
+\begin{example}\label{ex:leererraum}
   Auf der leeren Menge $\emptyset$ gibt es genau eine Topologie, nämlich $\CO_\emptyset := \{\emptyset\}$, die \emph{leere Topologie}.
 \end{example}
 
-\begin{example}
+\begin{example}\label{ex:einpunktraum}
   Auf einer einelementigen Menge $\{x\}$ gibt es ebenfalls genau eine Topologie, nämlich $\CO_{\{x\}} := \{\emptyset, \{x\}\} = \CO_{dsk} = \CO_{in}$, der \emph{Einpunktraum}.
 \end{example}
 
 \subsection{Die Teilraumtopologie}
-\begin{example}
+\begin{example}\label{ex:teilraumtopologie}
   Sei $(X, \CO_X)$ ein topologischer Raum und $M \subseteq X$ eine Teilmenge.
   Dann erhalten wir eine Topologie auf $M$:
   \[\CO_{M\subseteq X} := \CO_X \cap M = \{O \cap M \;\vert\; O \in \CO_X\}\]
@@ -80,7 +81,7 @@
   Sei $(X,d)$ ein metrischer Raum.
   \begin{enumerate}
     \item Für $x \in X$ und $r > 0$ definieren wir die \emph{offene} und die \emph{abgeschlossene} Kugel um $x$:
-          \[B_r(x) = \{y \in X \;\vert\; d(x,y) < r\} \qquad B_{\leq r}(x) = \{y \in X \;\vert\; d(x,y) \leq r\}\]
+          \[B_r(x) = \{y \in X \;\vert\; d(x,y) < r\} \qquad B_{\leq r}(x) = \{y \in X \;\vert\; d(x,y) \leq r\}.\]
     \item Die \emph{metrische Topologie} auf $X$ ist definiert durch:
           \[\CO_d := \{O \subseteq X \;\vert\; \forall x \in O. \exists \epsilon > 0. B_\epsilon(x) \subseteq O\}.\]
   \end{enumerate}
@@ -101,6 +102,7 @@
       0 & x = y     \\
       1 & x \not= y
     \end{cases}\]
+
   Die davon induzierte Topologie ist die diskrete Topologie (\autoref{ex:discrete_top}).
 \end{example}
 
@@ -177,9 +179,9 @@
 \begin{theorem}
   Sei $(X, \CO)$ ein topologischer Raum und $M \subseteq X$. Es gilt:
   \begin{enumerate}
-    \item $x \in \inter{M} \iff$ Es gibt eine Umgebung $U \in \CU(x)$ mit $U \subseteq M$. $\iff M$ ist eine Umgebung von $x$.
-    \item $x \in \clos{M} \iff$ Für jede Umgebung $U \in \CU(x)$ ist $U \cap M \not= \emptyset$. $\iff X \setminus M$ ist keine Umgebung von $x$.
-    \item $x \in \bound{M} \iff$ Für alle $U \in \CU(x)$ gilt $U \cap M \not= \emptyset$ und $U \cap (X \setminus M) \not= \emptyset$.
+    \item $x \in \inter{M} \iff$ es gibt eine Umgebung $U \in \CU(x)$ mit $U \subseteq M$. $\iff M$ ist eine Umgebung von $x$.
+    \item $x \in \clos{M} \iff$ für jede Umgebung $U \in \CU(x)$ ist $U \cap M \not= \emptyset$. $\iff X \setminus M$ ist keine Umgebung von $x$.
+    \item $x \in \bound{M} \iff$ für alle $U \in \CU(x)$ gilt $U \cap M \not= \emptyset$ und $U \cap (X \setminus M) \not= \emptyset$.
   \end{enumerate}
 \end{theorem}
 
@@ -217,7 +219,7 @@
 \end{definition}
 
 \begin{theorem}
-  $\langle \CM \rangle$ ist eine Topologie auf $X$ und zwar die gröbste Topologie die $CM$ enthält.
+  $\langle \CM \rangle$ ist eine Topologie auf $X$, und zwar die gröbste Topologie die $CM$ enthält.
 \end{theorem}
 
 \begin{lemma}
@@ -264,7 +266,7 @@
 
 \begin{corollary}
   \begin{enumerate}
-    \item Eine Abbildung $f : X \to Y$ ist äquivalenterweise stetig, wenn das Urbild jeder abgeschlossenen Menge abgeschlossen ist:
+    \item Äquivalenter weise ist eine Abbildung $f : X \to Y$ stetig, wenn das Urbild jeder abgeschlossenen Menge abgeschlossen ist:
           \[A \subseteq X \text{ abgeschlossen} \Rightarrow f^{-1}(A) \text{ abgeschlossen}.\]
     \item Eine Abbildung $f : X \to Y$ ist stetig genau dann, wenn für alle Teilmenge $S \subseteq X$ gilt:
           \[ f(\clos{S}) \subseteq \clos{f(S)}. \]
@@ -272,7 +274,7 @@
 \end{corollary}
 
 \begin{example}
-  Beispiele für stetige Funktionen $f : (X, \CO_X) \to (Y, \CO_Y)$
+  Beispiele für stetige Funktionen $f : (X, \CO_X) \to (Y, \CO_Y)$:
   \begin{enumerate}
     \item Für $\CO_X = \CO_{dsk} = \CP(X)$ ist jede Abbildung $f : X \to Y$ stetig.
     \item Für $\CO_Y = \CO_{ind} = \{\emptyset, X\}$ ist jede Abbildung $f : X \to Y$ stetig.

tex/sections/02_zusammenhang.tex

@@ -5,7 +5,7 @@
   Ein topologischer Raum $(X, \CO_X)$ heißt
   \begin{enumerate}
     \item \emph{zusammenhängend}, wenn er keine disjunkte Zerlegung in zwei nichtleere offene Teilmengen besitzt:
-          \[X = O_1 \cup O_2 \text{ mit } O_1, O_2 \in \CO_X, O_1 \cap O_2 = \emptyset \Rightarrow O_1 = \emptyset \text{ oder } O_2 = \emptyset.\]
+          \[X = O_1 \cup O_2 \text{ mit } O_1, O_2 \in \CO_X, O_1 \cap O_2 = \emptyset \Rightarrow O_1 = \emptyset \text{ oder } O_2 = \emptyset\]
     \item \emph{lokal zusammenhängend}, wenn jede Umgebung eines Punktes $x \in X$ eine zusammenhängende Umgebung von $x$ enthält.
   \end{enumerate}
 \end{definition}
@@ -19,7 +19,7 @@
 \end{lemma}
 
 \begin{example}
-  Eine Teilmenge $M \subseteq \mathbb{R}$ mit der Standardtopologie ist genau dann zusammenhängen, wenn sie ein Intervall ist.
+  Eine Teilmenge $M \subseteq \mathbb{R}$ mit der Standardtopologie ist genau dann zusammenhängend, wenn sie ein Intervall ist.
 \end{example}
 
 \begin{theorem}
@@ -29,18 +29,18 @@
   \end{enumerate}
 \end{theorem}
 
-TODO
+% TODO
 
 \section{Trennung von Punkten}
 \begin{definition}[Trennungsaxiome]
   Ein topologischer Raum $(X, \CO)$ heißt:
   \begin{enumerate}
-    \item \emph{$T_0$-Raum}, wenn zu je zwei verschiedenen $x_1, x_2 \in X$ eine offene Menge $O \in \CO$ existert, die nur eine von beiden Punkten enthält.
-    \item \emph{$T_1$-Raum}, wenn zu je zwei verschiedenen $x_1, x_2 \in X$ eine offene Menge $O \in \CO$ existiert, die $x_1$ enthält, aber nicht $x_2$ enthält.
-    \item \emph{$T_2$-Raum} oder \emph{Hausdorffraum}, wenn zu je zwei verschiedenen $x_1, x_2 \in X$ disjunkte offene Teilmenge $O_1, O_2 \subseteq X$ existieren mit $x_1 \in O_1, x_2 \in O_2$.
-    \item \emph{$T_3$-Raum}, wenn zu jedem Punkt $x \in X$ und jeder abgeschlossenen Menge $A \subseteq X$ mit $x \not\in A$ disjunkte offene Teilmengen $O_x, O_A \subseteq X$ existieren mit $x \in O_x, A \subseteq O_A$.
-    \item \emph{$T_4$-Raum}, wenn zu je zwei disjunkten abgeschlossenen Teilmengen $A_1, A_2 \subseteq X$ disjunkte offene Teilmengen $O_1, O_2 \subseteq X$ existieren mit $A_1 \subseteq O_1, A_2 \subseteq O_2$.
-    \item \emph{regulärer Raum}, wenn er ein $T_1$-Raum und ein $T_3$-Raum ist.
+    \item \emph{$T_0$-Raum}, wenn zu je zwei verschiedenen $x_1, x_2 \in X$ eine offene Menge $O \in \CO$ existiert, die nur eine von beiden Punkten enthält
+    \item \emph{$T_1$-Raum}, wenn zu je zwei verschiedenen $x_1, x_2 \in X$ eine offene Menge $O \in \CO$ existiert, die $x_1$ enthält, aber nicht $x_2$ enthält
+    \item \emph{$T_2$-Raum} oder \emph{Hausdorffraum}, wenn zu je zwei verschiedenen $x_1, x_2 \in X$ disjunkte offene Teilmenge $O_1, O_2 \subseteq X$ existieren mit $x_1 \in O_1, x_2 \in O_2$
+    \item \emph{$T_3$-Raum}, wenn zu jedem Punkt $x \in X$ und jeder abgeschlossenen Menge $A \subseteq X$ mit $x \not\in A$ disjunkte offene Teilmengen $O_x, O_A \subseteq X$ existieren mit $x \in O_x, A \subseteq O_A$
+    \item \emph{$T_4$-Raum}, wenn zu je zwei disjunkten abgeschlossenen Teilmengen $A_1, A_2 \subseteq X$ disjunkte offene Teilmengen $O_1, O_2 \subseteq X$ existieren mit $A_1 \subseteq O_1, A_2 \subseteq O_2$
+    \item \emph{regulärer Raum}, wenn er ein $T_1$-Raum und ein $T_3$-Raum ist
     \item \emph{normaler Raum}, wenn er ein $T_2$-Raum und ein $T_4$-Raum ist.
   \end{enumerate}
 \end{definition}

tex/sections/03_konstruktion.tex

@@ -1,9 +1,206 @@
+% chktex-file 3
+
 \chapter{Konstruktion von Topologischen Räumen}
 
 \section{Initial und Finaltopologie}
 
+\begin{definition}[Initialtopologie]
+  Sei $X$ eine Menge und $(Y_i, \CO_i)_{i\in I}$ eine durch $I$ indizierte Familie topologischer Räume.
+  Die durch eine Familie $f_i : X \to Y$ induzierte \emph{Initialtopologie} auf $X$ ist die von den Urbildern aller offenen Mengen in $Y_i$ erzeugte Topologie auf $X$:
+  \[\CO_{ini} = \langle \bigcup_{i\in I} \{f_i^\mone (O) \;\vert\; O \in \CO_i\}.\]
+\end{definition}
+
+\begin{definition}[Finaltopologie]
+  Sei $X$ eine Menge und $(Y_i, \CO_i)_{i\in I}$ eine durch $I$ indizierte Familie topologischer Räume.
+  Die durch eine Familie $g_i : Y_i \to X$ induzierte \emph{Finaltopologie} auf $X$ besteht aus den Mengen, deren Urbilder offen sind
+  \[\CO_{fin} = \{O \subseteq X \;\vert\; g_i^\mone (O) \in \CO_i, \forall i \in I\}.\]
+\end{definition}
+
+\begin{theorem}
+  Sei $X$ eine Menge, $(Y_i, \CO_i)_{i \in I}$ eine Familie topologischer Räume und $f_i : X \to Y_i$ und $g_i : Y_i \to X$ Familien von Abbildungen.
+  \begin{enumerate}
+    \item Die durch $(f_i)_{i \in I}$ induzierte Initialtopologie ist die gröbste Topologie auf $X$, für die alle $f_i$ stetig sind.
+    \item Sie ist die einzige Topologie, welche folgende \emph{universelle Eigenschaft} erfüllt:
+          Eine Abbildung $f : (W , \CO_W) \to (X, \CO_{ini})$ ist stetig genau dann, wenn die Abbildungen $f_i \circ f : (W, \CO_W) \to (Y_i, \CO_i)$ stetig sind für alle $i \in I$.
+    \item Die durch $(g_i)_{i \in I}$ induzierte Finaltopologie ist die feinste Topologie auf $X$, für die alle $g_i$ stetig sind.
+    \item Sie ist die einzige Topologie, welche folgende \emph{universelle Eigenschaft} erfüllt:
+          Eine Abbildung $g : (X , \CO_{fin}) \to (W, \CO_W)$ ist stetig genau dann, wenn die Abbildungen $g_i \circ g : (Y_i, \CO_i) \to (W, \CO_W)$ stetig sind für alle $i \in I$.
+  \end{enumerate}
+\end{theorem}
+
 \section{Teilräume und Quotienten}
 
+\subsection{Die Teilraumtopologie}
+
+\begin{definition}[Teilraumtopologie]
+  Seien $(X, \CO_X), (W, \CO_W)$ topologische Räume, $M \subseteq X$ eine Teilemenge und $\iota : M \to X$ die Inklusionsabbildung.
+  \begin{enumerate}
+    \item Die \emph{Teilraumtopologie} $\CO_{M\subseteq X}$ (Vgl.\ \autoref{ex:teilraumtopologie}) ist die von $\iota$ induzierte Initialtopologie auf $M$.
+    \item Eine Abbildung $f : W \to X$ heißt \emph{Einbettung} von $(W, \CO_W)$ in $(X, \CO_X)$, wenn sie injektiv ist und $\CO_W$ die von $f$ induzierte Initialtopologie auf $W$.
+  \end{enumerate}
+\end{definition}
+
+\begin{remark}
+  \begin{enumerate}
+    \item Die Teilraumtopologie auf $M$ ist die gröbste Topologie auf $M$, für die die Inklusionsabbildung stetig ist und es gilt:
+          \[\CO_{M\subseteq X} = \{O \cap M \;\vert\; O \in \CO_X\}.\]
+    \item Eine injektive Abbildung $f : W \to X$ ist eine Einbettung genau dann, wenn ihre Koeinschränkung $f^{\vert f(W)} : W \to f(W)$ ein Homöomorphismus ist.
+  \end{enumerate}
+\end{remark}
+
+\begin{theorem}[Universelle Eigenschaft des Teilraums]
+  Sei $(X, \CO_X)$ ein topologischer Raum und $M \subseteq X$ eine Teilmenge. Die Teilraumtopologie ist die einzige Topologie mit folgender \emph{universellen Eigenschaft}:
+
+  Die Inklusionsabbildung $\iota : M \to X$ ist stetig und zu jeder stetigen Abbildung $f : (W, \CO_W) \to (X, \CO_X)$ mit $f(W) \subseteq M$ gibt es genau eine stetige Abbildung $\tilde{f} : W \to M$ mit $\iota \circ \tilde{f} = f$.
+  % https://q.uiver.app/#q=WzAsMyxbMCwwLCIoVywgXFxDT19XKSJdLFsyLDAsIihNLCBcXENPX3tNIFxcc3Vic2V0ZXEgWH0pIl0sWzIsMiwiKFgsIFxcQ09fWCkiXSxbMCwxLCJcXGV4aXN0cyFcXHRpbGRle2Z9IiwwLHsic3R5bGUiOnsiYm9keSI6eyJuYW1lIjoiZGFzaGVkIn19fV0sWzEsMiwiXFxpb3RhIl0sWzAsMiwiZiJdLFswLDIsImYoVykgXFxzdWJzZXRlcSBNIiwyXV0=
+  \[\begin{tikzcd}
+      {(W, \CO_W)} && {(M, \CO_{M \subseteq X})} \\
+      \\
+      && {(X, \CO_X)}
+      \arrow["{\exists!\tilde{f}}", dashed, from=1-1, to=1-3]
+      \arrow["f", from=1-1, to=3-3]
+      \arrow["{f(W) \subseteq M}"', from=1-1, to=3-3]
+      \arrow["\iota", from=1-3, to=3-3]
+    \end{tikzcd}\]
+\end{theorem}
+
+\subsection{Die Quotiententopologie}
+\begin{definition}[Quotiententopoloogie]
+  Seien $(X, \CO_X)$ und $(Y, \CO_Y)$ topologische Räume, $\sim$ eine Äquivalenzrelation auf $X$ und $\pi : X \to X / \sim, x \mapsto [x]$ die \emph{kanonische Surjektion}.
+  \begin{enumerate}
+    \item Die \emph{Quotiententopologie} $\CO_\sim$ auf $X / \sim$ ist die von $\pi$ induzierte Finaltopologie auf $X / \sim$.
+    \item Eine Abbildung $f : X \to Y$ heißt \emph{Identifizierung}, wenn sie surjektiv ist und $\CO_Y$ die von $f$ induzierte Finaltopologie auf $Y$ ist.
+  \end{enumerate}
+\end{definition}
+
+\begin{remark}
+  \begin{enumerate}
+    \item Die Quotiententopologie auf $X / \sim$ ist die feinste Topologie auf $X / \sim$, für die die kanonische Surjektion $\pi : X \to X / \sim$ stetig ist. Es gilt:
+          \[\CO_\sim = \{O \subseteq X / \sim \;\vert\; \pi^\mone(X) \in \CO_X\}.\]
+    \item Eine surjektive Abbildung $f : X \to Y$ ist eine Identifizierung genau dann, wenn die Abbildung $f' : X/\sim \to Y, [x] \mapsto f(x)$ mit der Äquivalenzrelation $x \sim x' \iff f(x) = f(x')$ ein Homöomorphismus ist.
+  \end{enumerate}
+\end{remark}
+
+\begin{theorem}[Universelle Eigenschaft des Quotientenraums]
+  Sei $(X,CO_X)$ ein topologischer Raum und $\sim$ eine Äquivalenzrelation auf $X$.
+  Dann ist der Quotientenraum die einzige Topologie mit der folgenden \emph{universellen Eigenschaft}:
+
+  Die kanonische Surjektion $\pi : X \to X/\sim$ ist stetig und zu jeder stetigen Abbildung $g : X \to Y$ die auf Äquivalenzklassen konstant ist, existiert genau eine stetige Abbildung $\tilde{g} : X/\sim \to Y$ mit $\tilde{g} \circ \pi = g$.
+  % https://q.uiver.app/#q=WzAsMyxbMCwwLCIoWSwgXFxDT19ZKSJdLFsyLDAsIihYL1xcc2ltLCBcXENPX1xcc2ltKSJdLFsyLDIsIihYLCBcXENPX1gpIl0sWzIsMSwiXFxwaSIsMl0sWzIsMCwiZyIsMl0sWzEsMCwiXFxleGlzdHMhIFxcdGlsZGV7Z30iLDIseyJzdHlsZSI6eyJib2R5Ijp7Im5hbWUiOiJkYXNoZWQifX19XSxbMiwwLCJnX3tcXHZlcnRbeF19IFxcdGV4dHtrb25zdGFudH0iXV0=
+  \[\begin{tikzcd}
+      {(Y, \CO_Y)} && {(X/\sim, \CO_\sim)} \\
+      \\
+      && {(X, \CO_X)}
+      \arrow["{\exists! \tilde{g}}"', dashed, from=1-3, to=1-1]
+      \arrow["g"', from=3-3, to=1-1]
+      \arrow["{g_{\vert[x]} \text{konstant}}", from=3-3, to=1-1]
+      \arrow["\pi"', from=3-3, to=1-3]
+    \end{tikzcd}\]
+\end{theorem}
+
+\begin{remark}
+  \begin{enumerate}
+    \item Ist $(X, \CO)$ (weg)~zusammenhängend so ist auch $(X/\sim, \CO_\sim)$ (weg)~zusammenhängend.
+    \item Quotientenräume erhalten im Allgemeinen nicht die Hausdorffeigenschaft.
+  \end{enumerate}
+\end{remark}
+
 \section{Produkte und Summen}
 
-\section{Pullback und Pushout}
+\subsection{Die Produkttopologie}
+
+\begin{definition}[Produkttopologie]
+  Sei $(X_i, \CO_i)_{i \in I}$  eine Familie topologischer Räume.
+  Die \emph{Produkttopologie} auf der Menge $\bigtimes_{i \in I} X_i$ ist die von den Projektionsabbildungen $\pi_j : \bigtimes_{i \in I} X_i \to X_j$ induzierte Initialtopologie auf $\bigtimes_{i \in I} X_i$.
+  Man bezeichnet diesen Raum als das Produkt der Räume $(X_i, \CO_i)$ und mit $\prod_{i \in I}X_i$.
+\end{definition}
+
+\begin{remark}
+  \begin{enumerate}
+    \item Die Menge $\CS = \bigcup_{i \in I} \{\pi_i^\mone(O) \;\vert\; O \in \CO_i\}$ ist eine Subbasis von $\prod_{i \in I}X_i$.
+    \item Die Menge $\CB = \{\prod_{i \in I} O_i \;\vert\; O_i \in \CO_i, O_i = X_i \text{ für fast alle } i \in I\}$ ist eine Basis von $\prod_{i \in I}X_i$.
+    \item Also sind offene Mengen in $\prod_{i \in I}X_i$ Vereinigungen von Mengen der Form $O = \prod_{i \in I}O_i$ mit $O_i \subseteq X_i$ offen und $O_i = X_i$ für fast alle $i \in I$.
+  \end{enumerate}
+\end{remark}
+
+\begin{example}
+  \begin{enumerate}
+    \item Für $I = \emptyset$ ist $\prod_{i \in I}X_i$ der Einpunktraum (Vgl.\ \autoref{ex:einpunktraum}).
+    \item Seien $(X_1, d_1)$ und $(X_2, d_2)$ metrische Räume, dann ist $d : (X_1 \times X_2) \times (X_1 \times X_2) \to \mathbb{R}$ mit
+          \[d((x_1,x_2), (y_1, y_2)) = \max\{d_1(x_1,y_1),d_2(x_2,y_2)\}\]
+          eine Metrik auf $X_1 \times X_2$, die \emph{Produktmetrik}.
+          Die von der Produktmetrik induzierte metrische Topologie entspricht der Produkttopologie.
+          Dies gilt auch für abzählbare Produkte, nicht jedoch für überabzählbare Produkte.
+  \end{enumerate}
+\end{example}
+
+\begin{theorem}
+  Sei $(X_i, \CO_i)_{i \in I}$ eine Familie topologischer Räume. Dann ist $\prod_{i \in I}X_i$ die einzige Topologie mit folgender \emph{universellen Eigenschaft}.
+  Die Projektionsabbildungen $\pi_j : \prod_{i \in I}X_i \to X_j$ sind stetig und zu jeder Familie stetige Abbildungen $(f_i)_{i \in I} : W \to X_i$ gibt es genau eine stetige Abbildung $f : W \to \prod_{i \in I}X_i$ mit $\pi_i \circ f = f_i$ für alle $i\in I$.
+  % https://q.uiver.app/#q=WzAsMyxbMCwwLCIoVywgXFxDT19XKSJdLFsyLDAsIlxccHJvZF97aSBcXGluIEl9WF9pIl0sWzIsMiwiKFhfaSwgXFxDT19pKSJdLFsxLDIsIlxccGlfaSJdLFswLDIsImZfaSIsMl0sWzAsMSwiXFxleGlzdHMhZiIsMCx7InN0eWxlIjp7ImJvZHkiOnsibmFtZSI6ImRhc2hlZCJ9fX1dXQ==
+  \[\begin{tikzcd}
+      {(W, \CO_W)} && {\prod_{i \in I}X_i} \\
+      \\
+      && {(X_i, \CO_i)}
+      \arrow["{\exists!f}", dashed, from=1-1, to=1-3]
+      \arrow["{f_i}"', from=1-1, to=3-3]
+      \arrow["{\pi_i}", from=1-3, to=3-3]
+    \end{tikzcd}\]
+\end{theorem}
+
+\begin{theorem}
+  Sei $(X_i, \CO_i)_{i \in I}$ eine Familie topologischer Räume und $k \in \{0,1,2,3\}$. Dann gilt:
+  \begin{enumerate}
+    \item Ist $(X_i, \CO_i)$ ein $T_k$-Raum für alle $i \in I$, so ist auch $\prod_{i \in I}X_i$ ein $T_k$-Raum.
+    \item Ist $(X_i, \CO_i)$ (weg)~zusammenhängend für alle $i \in I$, so ist auch $\prod_{i \in I}X_i$ (weg)~zusammenhängend.
+  \end{enumerate}
+\end{theorem}
+
+\subsection{Die Summentopologie}
+\begin{definition}[Summentopologie]
+  Sei $(X_i, \CO_i)_{i \in I}$  eine Familie topologischer Räume.
+  Die \emph{Summentopologie} auf der Menge $\bigsqcup_{i \in I} X_i$ ist die von den Inklusionsabbildungen $\iota_j : X_j \to \bigsqcup_{i \in I} X_i$ induzierte Finaltopologie auf $\bigsqcup_{i \in I} X_i$.
+  Man bezeichnet diesen Raum als die Summe der Räume $(X_i, \CO_i)$ und mit $\coprod_{i \in I}X_i$.
+\end{definition}
+
+\begin{remark}
+  Die Topologie auf $\coprod_{i \in I}X_i$ ist gegeben durch $\CO = \{O \in \bigsqcup_{i \in I} X_i \;\vert\; \iota_i^\mone(O) \in \CO_I, \forall i\in I\}$. Also sind die offenen Mengen in $\coprod_{i \in I}X_i$ gerade die Vereinigungen von Mengen der Form $O_i \times \{ i \}$ für $O_i \in \CO_i$.
+\end{remark}
+
+\begin{example}
+  Für $I = \emptyset$ ist $\coprod_{i \in I}X_i$ der leere Raum (Vgl.\ \autoref{ex:leererraum}).
+\end{example}
+
+\begin{theorem}
+  Sei $(X_i, \CO_i)_{i \in I}$ eine Familie topologischer Räume. Dann ist $\coprod_{i \in I}X_i$ die einzige Topologie mit folgender \emph{universellen Eigenschaft}.
+  Die Inklusionsabbildungen $\iota_j : X_j \to \coprod_{i \in I}X_i$ sind stetig und zu jeder Familie stetige Abbildungen $(g_i)_{i \in I} : X_i \to W$ gibt es genau eine stetige Abbildung $g : \coprod_{i \in I}X_i \to W$ mit $g \circ \iota_i = g_i$ für alle $i\in I$.
+  % https://q.uiver.app/#q=WzAsMyxbMCwwLCIoVywgXFxDT19XKSJdLFsyLDAsIlxcY29wcm9kX3tpIFxcaW4gSX1YX2kiXSxbMiwyLCIoWF9pLCBcXENPX2kpIl0sWzIsMSwiXFxpb3RhX2kiLDJdLFsyLDAsImdfaSJdLFsxLDAsIlxcZXhpc3RzIWciLDIseyJzdHlsZSI6eyJib2R5Ijp7Im5hbWUiOiJkYXNoZWQifX19XV0=
+  \[\begin{tikzcd}
+      {(W, \CO_W)} && {\coprod_{i \in I}X_i} \\
+      \\
+      && {(X_i, \CO_i)}
+      \arrow["{\exists!g}"', dashed, from=1-3, to=1-1]
+      \arrow["{g_i}", from=3-3, to=1-1]
+      \arrow["{\iota_i}"', from=3-3, to=1-3]
+    \end{tikzcd}\]
+\end{theorem}
+
+\begin{theorem}
+  Sei $(X_i, \CO_i)_{i \in I}$ eine Familie topologischer Räume und $k \in \{0,1,2,3\}$. Dann gilt:
+  \begin{enumerate}
+    \item Ist $(X_i, \CO_i)$ ein $T_k$-Raum für alle $i \in I$, so ist auch $\coprod_{i \in I}X_i$ ein $T_k$-Raum.
+    \item Gibt es $i \not= j \in I$ mit $X_i, X_j \not= \emptyset$, so ist $\coprod_{i \in I}X_i$ nicht zusammenhängend.
+  \end{enumerate}
+\end{theorem}
+
+\subsection{Topologische Gruppen}
+
+\begin{definition}[Topologische Gruppe]
+  Eine \emph{topologische Gruppe} ist eine Gruppe $(G, \circ)$, zusammen mit einer Topologie $\CO$ auf $G$, sodass die Gruppenmultiplikation und die Inversion stetig sind.
+\end{definition}
+
+\subsection{Topologische Vektorräume}
+
+\begin{definition}[Topologischer Vektorraum]
+  Ein \emph{topologischer Vektorraum} ist ein Vektorraum $(V, +, \cdot)$ über $\mathbb{R}$ mit einer Topologie $\CO$ auf $V$, sodass die Vektoraddition und die Skalarmultiplikation stetig sind bezüglich $\CO$, und den Produkttopologien $V \times V$ und $\mathbb{R} \times V$.
+\end{definition}

tex/sections/04_kompaktheit.tex

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 \chapter{Kompaktheit}
+\section{Kompaktheit}
+
+\section{Kompaktheit in metrischen Räumen}
+
+\section{Der Satz von Tychonoff}
+
+\section{Lokale Kompaktheit}