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tex/main.tex

@@ -60,7 +60,7 @@
 \declaretheorem[name=Definition,style=definition,numberwithin=section]{definition}
 \declaretheorem[name=Beispiel,style=definition,sibling=definition]{example}
 \declaretheorem[style=definition,numbered=no]{exercise}
-\declaretheorem[name=Anmerkung,style=definition,sibling=definition]{remark}
+\declaretheorem[name=Bemerkung,style=definition,sibling=definition]{remark}
 \declaretheorem[name=Annahme,style=definition,sibling=definition]{assumption}
 \declaretheorem[name=Beobachtung,style=definition,sibling=definition]{observation}
 \declaretheorem[name=Satz,sibling=definition]{theorem}

tex/sections/01_topräume.tex

@@ -256,3 +256,107 @@
 \end{lemma}
 
 \section{Stetige Abbildungen}
+\begin{definition}[Stetige Abbildung]
+  Seien $(X, \CO_X)$ und $(Y, \CO_Y)$ topologische Räume.
+  Eine Abbildung $f : X \to Y$ heißt \emph{stetig}, wenn das Urbild jeder offenen Menge offen ist:
+  \[O \in \CO_Y \Rightarrow f^{-1}(X) \in \CO_X.\]
+\end{definition}
+
+\begin{corollary}
+  \begin{enumerate}
+    \item Eine Abbildung $f : X \to Y$ ist äquivalenterweise stetig, wenn das Urbild jeder abgeschlossenen Menge abgeschlossen ist:
+          \[A \subseteq X \text{ abgeschlossen} \Rightarrow f^{-1}(A) \text{ abgeschlossen}.\]
+    \item Eine Abbildung $f : X \to Y$ ist stetig genau dann, wenn für alle Teilmenge $S \subseteq X$ gilt:
+          \[ f(\clos{S}) \subseteq \clos{f(S)}. \]
+  \end{enumerate}
+\end{corollary}
+
+\begin{example}
+  Beispiele für stetige Funktionen $f : (X, \CO_X) \to (Y, \CO_Y)$
+  \begin{enumerate}
+    \item Für $\CO_X = \CO_{dsk} = \CP(X)$ ist jede Abbildung $f : X \to Y$ stetig.
+    \item Für $\CO_Y = \CO_{ind} = \{\emptyset, X\}$ ist jede Abbildung $f : X \to Y$ stetig.
+    \item Ist $f : X \to Y$ stetig und $M \subseteq X$, so ist auch die Einschränkung $f\vert_{M} : M \to Y$ stetig.
+    \item Ist $f : X \to Y$ stetig und $f(X) \subseteq N \subseteq Y$, so ist auch die Koeinschränkung $f^{\vert N} : X \to N$ stetig.
+    \item Für beliebige $\CO_X, \CO_Y$ sind alle konstanten Abbildungen stetig.
+    \item $id_X : (X, \CO_1) \to (X, \CO_2)$ ist stetig genau dann, wenn $\CO_1$ feiner als $\CO_2$ ist.
+    \item Für jeden topologischen Raum $(X, \CO)$ gibt es genau eine stetige Abbildung $f : \emptyset \to X$ und genau eine stetige Abbildung $f : X \to \{ m \}$.
+    \item Die Komposition zweier stetiger Abbildungen ist stetig.
+  \end{enumerate}
+\end{example}
+
+\begin{lemma}
+  Ist $\CM$ eine Subbasis von $\CO_Y$, so ist $f : (X, \CO_X) \to (Y, \CO_Y)$ genau dann stetig, wenn $f^\mone(O)$ offen ist für alle $O \in \CM$.
+\end{lemma}
+
+\subsection{Homöomorphismen}
+\begin{definition}[Homöomorphismus]
+  Eine stetige Abbildung $f : X \to Y$ heißt \emph{Homöomorphismus} oder \emph{Isomorphismus von topologischen Räumen},
+  wenn sie bijektiv ist und ihre Umkehrabbildung $f^\mone : Y \to X$ ebenfalls stetig ist.
+  Dann nennt man die topologischen Räume $(X, \CO_X)$ und $(Y, \CO_Y)$ \emph{homöomorph}.
+\end{definition}
+
+\begin{definition}
+  Seien $(X, \CO_X)$ und $(Y, \CO_Y)$ topologische Räume.
+  \begin{enumerate}
+    \item Eine Abbildung $f : X \to Y$ heißt \emph{offen}, wenn das Bild jeder offenen Menge offen ist:
+          \[O \in \CO_X \Rightarrow f(O) \in \CO_Y.\]
+    \item Eine Abbildung $f : X \to Y$ heißt \emph{abgeschlossen}, wenn das Bild jeder abgeschlossenen Menge abgeschlossen ist:
+          \[X \setminus A \in \CO_X \Rightarrow Y \setminus f(A) \in \CO_Y.\]
+  \end{enumerate}
+\end{definition}
+
+\begin{theorem}
+  Für eine stetige Abbildung $f : X \to Y$ sind äquivalent:
+  \begin{enumerate}
+    \item $f$ ist ein Homöomorphismus.
+    \item $f$ ist bijektiv und offen.
+    \item $f$ ist bijektiv und abgeschlossen.
+  \end{enumerate}
+\end{theorem}
+
+\subsection{Folgenstetigkeit}
+
+\begin{definition}[Stetig in einem Punkt]
+  Eine Abbildung $f : X \to Y$ heißt \emph{stetig in einem Punkt} $x \in X$, wenn das Urbild jeder Umgebung von $f(x)$ eine Umgebung von $x$ ist:
+  \[U \in \CU(f(x)) \Rightarrow f^\mone(U) \in \CU(x).\]
+\end{definition}
+
+\begin{theorem}
+  Eine Abbildung $f : X \to Y$ ist stetig genau dann, wenn sie stetig in allen $x \in X$ ist.
+\end{theorem}
+
+\begin{theorem}
+  Für zwei metrische Räume $(X, d_X)$ und $(Y, d_Y)$ ist $f : X \to Y$ genau dann stetig in $x \in X$, wenn:
+  \[\forall \epsilon > 0. \exists \delta > 0. f(B_\delta(x)) \subseteq B_\epsilon(f(x)).\]
+\end{theorem}
+
+\begin{definition}[Folgenstetigkeit]
+  Seien $(X, \CO_X)$ und $(Y, \CO_Y)$ topologische Räume.
+  \begin{enumerate}
+    \item Ein Punkt $x \in X$ heißt \emph{Häufungspunkt} einer Folge $(x_n)_{n\in\mathbb{N}_0}$ in $X$, wenn es zu jeder Umgebung $U \in \CU(x)$ unendlich viele $n \in \mathbb{N}_0$ gibt mit $x_n \in U$.
+    \item Ein Punkt $x \in X$ heißt \emph{Grenzwert} einer Folge $(x_n)_{n\in\mathbb{N}_0}$ in $X$, wenn für jede Umgebung $U \in \CU(x)$ gilt $x_n \in U$ für fast alle $n \in \mathbb{N}_0$.
+    \item Eine Abbildung $f : X \to Y$ heißt \emph{folgenstetig in einem Punkt} $x \in X$, wenn für alle konvergenten Folgen $(x_n)_{n \in \mathbb{N}_0}$ mit Grenzwert $x \in X$ die Bildfolge $(f(x_n))_{n \in \mathbb{N}_0}$ konvergent mit Grenzwert $f(x) \in Y$ ist.
+    \item Eine Abbildung $f : X \to Y$ heißt \emph{folgenstetig}, wenn sie folgenstetig in allen Punkten $x \in X$ ist.
+  \end{enumerate}
+\end{definition}
+
+\begin{definition}[1. Abzählbarkeitsaxiom]
+  Ein topologischer Raum $(X, \CO)$ erfüllt das \emph{1. Abzählbarkeitsaxiom}, wenn zu jedem Punkt $x \in X$ eine Familie $(U_n)_{n \in \mathbb{N}_0}$ von Umgebungen $U_n \in \CU(x)$ existiert, sodass jede Umgebung $U \in \CU(x)$ eine Umgebung $U_n$ enthält.
+  Eine solche Familie von Umgebungen heißt \emph{Umgebungsbasis} im Punkt $x$.
+\end{definition}
+
+\begin{lemma}
+  \begin{enumerate}
+    \item Jeder topologische Raum der das 2. Abzählbarkeitsaxiom erfüllt, erfüllt auch das 1. Abzählbarkeitsaxiom.
+    \item Jeder metrische Raum erfüllt das 1. Abzählbarkeitsaxiom.
+  \end{enumerate}
+\end{lemma}
+
+\begin{theorem}
+  Für topologische Räum $(X, \CO_X)$ und $(Y, \CO_Y)$ gilt:
+  \begin{enumerate}
+    \item Stetige Abbildungen $f : X \to Y$ sind folgenstetig.
+    \item Erfüllt $(X, \CO_X)$ das 1. Abzählbarkeitsaxiom, so sind folgenstetige $f : X \to Y$ auch stetig.
+  \end{enumerate}
+\end{theorem}

tex/sections/02_zusammenhang.tex

@@ -1 +1,77 @@
 \chapter{Zusammenhang und Trennung}
+
+\section{Zusammenhang}
+\begin{definition}[(Lokal) Zusammenhängende Räume]
+  Ein topologischer Raum $(X, \CO_X)$ heißt
+  \begin{enumerate}
+    \item \emph{zusammenhängend}, wenn er keine disjunkte Zerlegung in zwei nichtleere offene Teilmengen besitzt:
+          \[X = O_1 \cup O_2 \text{ mit } O_1, O_2 \in \CO_X, O_1 \cap O_2 = \emptyset \Rightarrow O_1 = \emptyset \text{ oder } O_2 = \emptyset.\]
+    \item \emph{lokal zusammenhängend}, wenn jede Umgebung eines Punktes $x \in X$ eine zusammenhängende Umgebung von $x$ enthält.
+  \end{enumerate}
+\end{definition}
+
+\begin{lemma}
+  Ein topologischer Raum $(X, \CO_X)$ ist genau dann zusammenhängend, wenn eine der folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt ist:
+  \begin{enumerate}
+    \item $X$ besitzt keine disjunkte Zerlegung in zwei nichtleere abgeschlossene Teilmengen
+    \item $X$ und $\emptyset$ sind die einzigen Teilmengen von $X$, die offen und abgeschlossen sind.
+  \end{enumerate}
+\end{lemma}
+
+\begin{example}
+  Eine Teilmenge $M \subseteq \mathbb{R}$ mit der Standardtopologie ist genau dann zusammenhängen, wenn sie ein Intervall ist.
+\end{example}
+
+\begin{theorem}
+  \begin{enumerate}
+    \item Ist $(X, \CO_X)$ zusammenhängend und $f : X \to Y$ stetig, so ist auch das Bild $f(X) \subseteq Y$ zusammenhängend.
+    \item Vereinigungen von disjunkten zusammenhängenden Teilmengen sind zusammenhängend.
+  \end{enumerate}
+\end{theorem}
+
+TODO
+
+\section{Trennung von Punkten}
+\begin{definition}[Trennungsaxiome]
+  Ein topologischer Raum $(X, \CO)$ heißt:
+  \begin{enumerate}
+    \item \emph{$T_0$-Raum}, wenn zu je zwei verschiedenen $x_1, x_2 \in X$ eine offene Menge $O \in \CO$ existert, die nur eine von beiden Punkten enthält.
+    \item \emph{$T_1$-Raum}, wenn zu je zwei verschiedenen $x_1, x_2 \in X$ eine offene Menge $O \in \CO$ existiert, die $x_1$ enthält, aber nicht $x_2$ enthält.
+    \item \emph{$T_2$-Raum} oder \emph{Hausdorffraum}, wenn zu je zwei verschiedenen $x_1, x_2 \in X$ disjunkte offene Teilmenge $O_1, O_2 \subseteq X$ existieren mit $x_1 \in O_1, x_2 \in O_2$.
+    \item \emph{$T_3$-Raum}, wenn zu jedem Punkt $x \in X$ und jeder abgeschlossenen Menge $A \subseteq X$ mit $x \not\in A$ disjunkte offene Teilmengen $O_x, O_A \subseteq X$ existieren mit $x \in O_x, A \subseteq O_A$.
+    \item \emph{$T_4$-Raum}, wenn zu je zwei disjunkten abgeschlossenen Teilmengen $A_1, A_2 \subseteq X$ disjunkte offene Teilmengen $O_1, O_2 \subseteq X$ existieren mit $A_1 \subseteq O_1, A_2 \subseteq O_2$.
+    \item \emph{regulärer Raum}, wenn er ein $T_1$-Raum und ein $T_3$-Raum ist.
+    \item \emph{normaler Raum}, wenn er ein $T_2$-Raum und ein $T_4$-Raum ist.
+  \end{enumerate}
+\end{definition}
+
+\begin{remark}
+  Die Bedingung an einen $T_1$-Raum ist äquivalent zu der Forderung, dass einelementige Teilmengen von $X$ abgeschlossen sind.
+\end{remark}
+
+\begin{remark}
+  Es gilt:
+  \[(X, \CO) \text{ normal } \Rightarrow (X, \CO) \text{ regulär}.\]
+\end{remark}
+
+\begin{example}
+  Jeder metrische Raum mit der metrischen Topologie ist normal.
+\end{example}
+
+\begin{lemma}
+  Wenn ein topologischer Raum $(X, \CO)$ das 2. Abzählbarkeitsaxiom erfüllt gilt:
+  \[(X, \CO) \text{ regulär } \Rightarrow (X, \CO) \text{ normal}.\]
+\end{lemma}
+
+\begin{lemma}
+  Sei $(X, \CO)$ ein $T_k$-Raum mit $k \in \{0,1,2,3\}$. Dann ist auch jede Teilmenge $M \subseteq X$ mit der Teilraumtopologie ein $T_k$-Raum.
+\end{lemma}
+
+\begin{theorem}[Lemma von Urysohn]
+  Ein Hausdorffraum $(X, \CO)$ ist genau dann normal, wenn zu je zwei disjunkten abgeschlossenen Mengen $A_1, A_2 \subseteq X$ eine stetige Abbildung $f : X \to [0,1]$ mit $f(x) = 0$ für alle $x \in A_1$ und $f(x) = 1$ für alle $x \in A_2$ existiert.
+  Eine solche Abbildung heißt \emph{Urysohn-Funktion}.
+\end{theorem}
+
+\begin{theorem}[Fortsetzungssatz von Tietze]
+  Sei $(X, \CO)$ ein normaler topologischer Raum, $A \subseteq X$ abgeschlossen und $f : A \to \mathbb{R}$ stetig. Dann gibt es eine stetige Abbildung $F : X \to \mathbb{R}$ mit $F\vert_A = f$ (eine \emph{stetige Fortsetzung}).
+\end{theorem}